ContourIntegrate

ContourIntegrate[f,z∈cont]

给出 f 沿复平面中由 cont 定义的围道上的积分.

更多信息和选项

  • 围道积分也称为路径积分或复线积分.
  • 围道积分起源于复分析中对全纯函数和亚纯函数的研究，但现在其应用范围很广，包括拉普拉斯逆变换和 Z 变换的计算、定积分与求和，以及偏微分方程求解等.
  • 函数 沿围道 cont 的围道积分由下式给出：
  • 围道积分的值与参数化无关，但它确实取决于围道（路径） cont 连续的方向.
  • 函数 f 通常是 z 的亚纯函数，但它可以是在复平面中 cont 的邻域中定义的任何分段连续函数.
  • 亚纯函数 沿闭合路径 cont 的围道积分可以使用柯西留数定理计算.
  • 常用的闭合路径 cont 包括： »
  • {"Hairpin", hl}包围半线 hl
    {"UpperSemicircle",ipts,epts}包围上半平面，包括点 ipts，不包括点 epts，都在实轴上
    {"LowerSemicircle",ipts,epts}包围下半平面，包括点 ipts，不包括点 epts，都在实轴上
    {"Dumbbell",pt1,pt2}包围由点 pt1 和 pt2 给出的胶囊
  • 复数点以 {x,y} 对的形式给出； 复数半线以 HalfLine 基元的形式给出.
  • 中的围道 cont 也可以指定为 中的曲线区域（RegionQ）.
  • 对于参数围道 ParametricRegion[{x[t],y[t]},{{t,a,b}}]，方向是 t 增大的方向.
  • 中的特殊路径及其假定方向：
  • Line[{p1,p2,…}]从 p1 到 p2，等.
    HalfLine[{p1,p1}]从 p1 朝向 p2
    InfiniteLine[{p1,p2}]从 p1 朝向 p2
    Circle[p,…]逆时针
  • 可以使用诸如 Polygon 之类的面积区域，这时围道是沿 RegionBoundary[Polygon[…]] 的边界路径.
  • 中的特殊区域及其假设的边界路径方向：
  • Triangle[{p1,p2,p3}]逆时针
    Rectangle[p1,p2]逆时针
    RegularPolygon[n,…]逆时针
    Polygon[{p1,p2,…}{{q1,q2,…},…}]外围道逆时针，内围道顺时针
    Disk[p,…]逆时针
    Ellipsoid[p,…]逆时针
    StadiumShape[{p1,p2},r]逆时针
    Annulus[p,{rm,rm},…]外围道逆时针，内围道顺时针
  • 当输入涉及不精确的数量时，ContourIntegrate 使用符号和数值方法的组合.
  • cont 中的区域可以用 Inactive 封装以防止自动运算.
  • 可以给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions关于参数的假设
    GenerateConditions Automatic是否生成涉及参数条件的答案
    PrincipalValue False是否求柯西主值
    WorkingPrecision Automatic内部计算中使用的精度

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

在复平面中沿单位圆对 1/z 求积分：

沿以原点为圆心、半径为 2 的圆对有理函数求积分：

多边形路径上的围道积分：

范围  (53)

基本用法  (5)

圆形路径上的围道积分：

数值积分：

复平面中多边形链上的围道积分：

在半圆盘上进行围道积分：

数值围道积分：

复平面中参数围道上的围道积分：

专题：有理函数  (13)

对有理函数沿圆求积分：

对参数有理函数沿圆求积分：

沿五边形围道对有理函数求积分：

有理函数沿三角路径的围道积分：

有理函数沿矩形路径的围道积分：

沿单位圆的围道积分：

开放多边形链上的围道积分：

开放弧上的围道积分：

亚纯函数在闭合半圆上的围道积分：

具有本质奇点的函数的围道积分：

非解析函数的围道积分：

包含分支切割的函数的围道积分：

取决于符号参数的函数的围道积分：

专题：亚纯函数  (5)

亚纯函数沿多边形路径的围道积分：

数值计算围道积分：

沿椭圆路径的围道积分：

闭合半圆上的围道积分：

环形扇区上的围道积分：

半径为 的圆上的围道积分：

专题：具有本质奇点的函数  (4)

指数函数：

在围道内具有本质奇点的函数 Sin：

具有本质奇点的函数的围道积分：

周期函数产生的本质奇点：

专题：非解析函数  (4)

圆形路径上的围道积分：

Arg 函数的围道积分：

椭圆扇形上的围道积分：

矩形路径上的围道积分：

专题：带分支切割的函数  (2)

分段连续函数的围道积分：

在积分路径上有分支切割的函数的围道积分：

专题：符号参数  (5)

函数和围道可以包含符号参数：

使用 GenerateConditions False 抑制存在条件：

结果是一个 Piecewise 函数：

沿半径为 的半圆盘的围道积分：

沿一般椭圆的围道积分：

沿半径 和 的半环的围道积分：

专题：命名围道  (8)

沿实轴正向，绕实轴极点，在复平面的上半部分闭合的围道积分：

第二个例子：

沿实轴正向，绕实轴极点，在复平面下半部分闭合的围道积分：

默认情况下，该围道顺时针移动.

第二个例子：

围绕 Hankel （发卡形）围道的围道积分：

围绕 Hankel （发卡形）围道的积分：

对于 的情况：

运算为 Zeta 函数的围道积分：

对于 ， 的情况：

发卡形围道积分：

对于 的情况：

发卡形或 Hankel 围道：

连接 0 和 1 的分支切割周围的哑铃轮廓：

专题：区域围道  (7)

无限直线上的围道积分：

对于 的情况：

圆形围道上的围道积分：

线段上的围道积分：

三角形路径上的围道积分：

对于 的情况：

矩形路径上的围道积分：

扇区上的围道积分：

圆环上的围道积分：

选项  (6)

Assumptions  (1)

选项 Assumptions 可用于参数：

GenerateConditions  (2)

ContourIntegrate 使用 GenerateConditionsAutomatic 生成参数条件：

使用选项 GenerateConditionsFalse 抑制存在条件：

当围道涉及参数时生成条件：

使用 GenerateConditionsFalse 抑制条件：

PrincipalValue  (1)

选项 PrincipalValue 可用于计算柯西主值：

WorkingPrecision  (2)

当设置了 WorkingPrecision 时，积分以数值计算：

如果输入具有有限精度，则以数值方式计算积分：

应用  (22)

有理函数  (2)

半圆盘上的围道积分：

变大时的极限：

使用 Integrate 获得相同的结果：

在实线上的积分：

这可以作为围道积分的极限获得：

三角有理积  (2)

在实线上的积分：

此结果可以使用复积分恢复：

在实线上的积分：

使用复积分：

三角函数  (3)

正弦有理函数的积分：

这可以作为围道积分恢复：

余弦有理函数的积分：

这可以作为围道积分获得：

正弦有理函数的积分：

作为围道积分：

傅立叶变换  (2)

函数的傅立叶变换：

使用围道积分计算：对于正数 ：

对于负数 ：

函数的傅立叶变换：

使用围道积分计算：对于正数 ：

对于负数 ：

拉普拉斯逆变换  (4)

函数的拉普拉斯逆变换：

使用围道积分计算：

有理函数的拉普拉斯逆变换：

使用围道积分：

包含平方根的函数的拉普拉斯逆变换：

使用围道积分进行相同计算：

包含 Log 的函数的拉普拉斯逆变换：

使用拉普拉斯逆变换的定义：

梅林逆变换  (4)

函数的梅林逆变换：

从围道积分计算：

函数的梅林逆变换：

由作为围道积分的定义来计算：

函数的梅林变换：

使用梅林逆变换恢复函数：

有理函数的梅林变换：

与梅林逆变换的关系：

Z 逆变换  (2)

函数的 Z 逆变换：

由围道积分的定义获得结果：

函数的逆 Z 变换：

使用围道积分的定义：

经典定理  (3)

应用于闭合路径上亚纯函数围道积分的留数定理：

积分等于 乘以围道内极点的留数之和：

积分围道可以在不改变积分值的情况下变形，前提是函数的奇点不交叉：

如果围道内没有奇点，则积分为零：

属性和关系  (6)

如果符号计算失败，应用 N[ContourIntegrate[...]] 获得数值解：

这也可以使用 NIntegrate 计算：

围道积分也可以使用 Integrate 获得：

这相当于：

Integrate 可以沿复平面中的直线路径积分：

这相当于：

闭合路径上的围道积分也可以使用 ResidueSum 获得：

亚纯函数的极点可以使用 FunctionPoles 找到：

也可以使用 Residue 计算积分：

闭合路径上的围道积分也可以使用 Residue 获得：

互动范例  (2)

在不同半径的扇区上的围道积分：

在不同半径的扇区上的另一个围道积分：

巧妙范例  (2)

"Pacman" 围道上的围道积分：

沿 "Ninja" 围道的亚纯函数的围道积分：

Wolfram Research (2023)，ContourIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

文本

Wolfram Research (2023)，ContourIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

CMS

Wolfram 语言. 2023. "ContourIntegrate." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

APA

Wolfram 语言. (2023). ContourIntegrate. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html 年

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