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FindMinimum

FindMinimum[f,x]

搜索 f 的局部极小值，从一个自动选定的点开始.

FindMinimum[f,{x,x₀}]

搜索 f 的局部最小值，从 x=x₀ 开始.

FindMinimum[f,{{x,x₀},{y,y₀},…}]

搜索多元函数的局部最小值.

FindMinimum[{f,cons},{{x,x₀},{y,y₀},…}]

搜索约束条件 cons 下局部最小值.

FindMinimum[{f,cons},{x,y,…}]

从约束条件定义区域内的点开始.

更多信息和选项

FindMinimum 返回 {f_min,{x->x_min}} 形式的列表，其中 f_min 是找到的 f 最小值，且 x_min 是找到的 x 的值.
如果变量的初始值是以列表形式给出，变量值采用相同维数的列表.
约束条件 cons 可以包含方程、不等式或这些表达式的逻辑组合.
约束条件 cons 可以是下列任意的逻辑组合：
lhs==rhs 方程

lhs>rhs 或 lhs>=rhs 不等式

{x,y,…}∈reg 区域规范
FindMinimum 首先局部化所有变量值，然后计算符号变量下的 f，然后重复计算数值结果.
FindMinimum 具有属性 HoldAll，且实际上用 Block 局部化变量.
FindMinimum[f,{x,x₀,x₁}] 用 x₀ 和 x₁ 作为 x 的前 2 个值搜索 f 的局部最小值，避免使用导数.
FindMinimum[f,{x,x₀,x_min,x_max}] 搜索局部最小值，如果 x 超出了 x_min 到 x_max 的范围，停止搜索.
除了当 f 和 cons 都是线性的，由 FindMinimum 找到的结果可能是局部的，但不是全局的最小数.
在默认情况下，所有变量都假定为实数.
对于线性的 f 和 cons，x∈Integers 可以用来指定变量仅采用整数值.
可以给出下列选项：

	AccuracyGoal	Automatic	搜索的准确度
	EvaluationMonitor	None	当 f 计算时，计算的表达式
	Gradient	Automatic	f 梯度分量的列表
	MaxIterations	Automatic	使用最大迭代数
	Method	Automatic	使用的方法
	PrecisionGoal	Automatic	搜索的精度
	StepMonitor	None	每个步骤计算的表达式
	WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算的精度

AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 的设置指定搜索最小值的坐标值和函数值的数字位数.
FindMinimum 持续计算直到由 AccuracyGoal 或 PrecisionGoal 指定的目标中的任何一个被达到.
Method 的可能设置包括 "ConjugateGradient"、"PrincipalAxis"、"LevenbergMarquardt"、"Newton"、"QuasiNewton"、"InteriorPoint" 和 "LinearProgramming"，默认是 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

搜索一个局部最小值，从开始搜索：

提取在局部最小值处 x 的值：

求局部最小值，从开始，在约束条件下：

求一个线性函数的最小值，在线性和整数约束下：

在几何区域上求函数的最小值：

绘制图线：

范围 (12)

不同的初始值，您可以获得不同的局部最小值:

一个二元函数的局部最小值，从 x=2，y=2 开始：

限制在一个圆盘内的局部最小值：

不一定要提供初始值：

对线性目标和约束条件，可以加上整数约束条件：

可以指定 Or 约束条件：

在区域上求最小值：

绘制图线：

求两个区域之间的最小距离：

绘制图线：

求最小的使得三角形和椭圆形仍然交叠：

绘制图线：

求包括给定三个点的具有最小半径的圆盘：

绘制图线：

使用 Circumsphere 直接给出相同结果：

使用指定是中的一个向量：

求两个区域之间的最小距离：

绘制图线：

选项 (7)

AccuracyGoal 和 PrecisionGoal (2)

这指定了收敛规则和：

这强加了收敛规则和：

设置一个高 WorkingPrecision 使过程收敛：

EvaluationMonitor (1)

绘制收敛于局部最小值：

Gradient (1)

使用一个给定的梯度；自动地计算海森矩阵：

同时提供梯度和海森矩阵：

Method (1)

在这个例子中，用默认的基于导数的方式会有困难:

在这些例子中，不需要导数的直接搜索方式会很有帮助:

NMinimize 也使用了一系列的直接搜索方法：

StepMonitor (1)

在求一个函数最小值的过程中 FindMinimum 采用的步骤：

WorkingPrecision (1)

设置工作精度为；默认情况下 AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 设置为：

应用 (3)

从1973年到1994年，S&P 500 指数的长期债券的年回报（R）：

计算回报的均值和协方差：

最小化波动，实现至少 10% 的回报：

找出能包含个给定半径的不重叠圆的最小正方形，其中 . 指定圆的数量和每个圆的半径：

若为圆的中心，则目标是最小化 . 目标可以转换为最小化和：

这些圆不能重叠：

收集变量：

最小化目标：

这些圆包含在正方形中：

计算圆所覆盖的面积占正方形面积的比例：

求一条穿过圆形障碍物的路径，使起点和终点之间的距离最小：

路径被离散成个不同的点，点与点之间的距离为，其中是最小化的轨迹长度：

这些点不能在圆形物体内：

起点和终点是已知的：

收集变量：

在约束条件下，使长度最小化：

可视化结果：

属性和关系 (2)

FindMinimum 尽可能返回一个局部最小值，NMinimize 试图求一个全局最小值：

Minimize 求全局最小值，并可以在无穷精度下计算：

FindMinimum 同时给出最小值和产生最小值的点：

FindArgMin 给出最小值的位置：

FindMinValue 给出最小值：

可能存在的问题 (6)

用机器精度算术，即使具有平滑最小值的函数看起来也会崎岖不平的：

超出机器精度通常可以避免这类的问题：

如果限定区域为空，算法不会收敛：

如果最小值不是有限的，算法不会收敛：

整数线性规划算法仅对机器数问题有效：

某些时候提供一个适当的初始值可以帮助算法收敛：

符号计算函数可能很耗时：

限制函数定义可防止符号计算：

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