GumbelDistribution
GumbelDistribution[α,β]
表示一个定位参数为 α、尺度参数为 β 的 Gumbel 分布.
表示一个定位参数为 0、尺度参数为1的 Gumbel 分布.
更多信息
- Gumbel 分布给出诸如正态分布的分布中样本最小值的渐进分布.
- 最大值的渐进分布，有时候也称为 Gumbel 分布，在 Wolfram 语言中以 ExtremeValueDistribution 的方式实现. »
- 在 Gumbel 分布中，
值的概率密度与 
是成比例的. » - GumbelDistribution 允许 α 为任意实数. β 为任意正实数.
- GumbelDistribution 允许 α 和 β 为任意相同单位维度的量. »
- GumbelDistribution 可同 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数一起使用. »
背景
- GumbelDistribution[α,β] 表示在实数上定义的连续统计分布，参数分别为实数 α（“位置参数”）和正实数 β（“尺度参数”）. Gumbel 分布的概率的概率分布函数是单峰的，参数 α 控制水平位置，而 β 确定概率密度函数的整体高度和峰度. 另外，概率密度函数的尾部是“薄”的，因为概率密度函数对于
的较大值指数降低.（这种行为可以通过分析分布的 SurvivalFunction 精确定量.）Gumbel 分布有时候称为类型1极值分布（不要与极值分布混淆，后者在 Wolfram 语言中实现为 ExtremeValueDistribution）、双指数分布（不要与 LaplaceDistribution 混淆，后者也称为双指数）或者对数-Weibull 分布（即 WeibullDistribution）. - GumbelDistribution 是归类为“极值分布”的四种分布（还包括 FrechetDistribution、ExtremeValueDistribution 和 WeibullDistribution）之一的分布，所有这四种分布都用作定量“极值”或者“极端”事件的工具（例如，极其罕见，包含服从相对中位数具有极端偏差的数据集）. Gumbel 分布以德国数学家 Emil Julius Gumbel 命名，他在三十年代末研究最小次序统计量的极值分布（例如，从出现开始，Gumbel 分布已经用于对现实现象建模，包括人类寿命、辐射、进化的基因突变、洪水和地震分析、干旱和灾难性保险损失. Gumbel 分布已经用于数论中，以估计整数划分的项数（参见 IntegerPartitions），以及记录素数差异的大小.
- RandomVariate 可用于给出一个或者多个机器或者任意精度（后者通过 WorkingPrecision 选项）的服从 Gumbel 分布的伪随机变量. Distributed[x,GumbelDistribution[α,β]]，可以简单地写作 xGumbelDistribution[α,β]，可用于声明随机变量 x 服从 Gumbel 分布. 这样的断言可以用于诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 的函数中.
- 概率密度和累积分布函数可以使用 PDF[GumbelDistribution[α,β],x] 和 CDF[GumbelDistribution[α,β],x] 给出. 均值、中位数、方差、原始矩和中心矩可以分别使用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 计算.
- DistributionFitTest 可用于检验给定的数据集是否与 Gumbel 分布一致，EstimatedDistribution 可用于从给定数据估计 Gumbel 参数分布，而 FindDistributionParameters 可用于将数据与 Gumbel 分布拟合. ProbabilityPlot 可用于生成给定数据的累积分布函数和符号 Gumbel 分布组成的图线，以及用于产生给定数据的分位数图线和符号 Gumbel 分布的分位数组成的图线 QuantilePlot.
- TransformedDistribution 可用于表示变换 Gumbel 分布，CensoredDistribution 表示上界和下界之间删截的数值的分布，而 TruncatedDistribution 表示上界和下界之间截断的数值的分布. CopulaDistribution 可用于构建包含 Gumbel 分布的高维分布，而 ProductDistribution 可用于计算涉及 Gumbel 分布的独立分量分布的联合分布.
- Gumbel 分布与很多其他分布紧密相关. 正如前面提到的，GumbelDistribution 与 ExtremeValueDistribution、FrechetDistribution 和 WeibullDistribution 有定性关系. 这些关系可以按照下列方式定量： GumbelDistribution[α,β] 的概率密度函数与 TransformedDistribution[-u,u ExtremeValueDistribution[-α,β]] 和 TransformedDistribution[β α Log[u/β]+α,u WeibullDistribution[α,β]] 相同，并且 FrechetDistribution 是变换的 WeibullDistribution. GumbelDistribution 与 MinStableDistribution 和 MaxStableDistribution 相关，因为 GumbelDistribution[α,β]、MinStableDistribution[α,β,0] 和 TransformedDistribution[-u,u MaxStableDistribution[-α,β,0]] 的概率密度函数都一样. GumbelDistribution 也与 LogisticDistribution、ExpGammaDistribution、GompertzMakehamDistribution 和 ExponentialDistribution 相关.
范例
打开所有单元关闭所有单元范围 (7)
在参数中持续使用 Quantity 会生成 QuantityDistribution：
应用 (2)
某一个设备的使用寿命服从 Gumbel 分布. 求该设备的可靠性：
每年地震的最大震级可以使用 GumbelDistribution 建模. 考虑过去200年美国的地震：
属性和关系 (15)
当平移并且使用一个正因子为比例进行缩放时，Gumbel 分布是闭合的：
偏度是 ExtremeValueDistribution 的偏度的负值：
ExtremeValueDistribution 向右偏斜，而 GumbelDistribution 向左偏斜：
峰度与 ExtremeValueDistribution 的相同：
对于取自 GumbelDistribution 的样本，其最小值所对应的分布族仍然是 Gumbel 分布：
GumbelDistribution 的累积分布函数求解最小稳态波动方程：
GumbelDistribution 是 ExtremeValueDistribution 的否定：
GumbelDistribution 是 WeibullDistribution 的一种变换形式：
GompertzMakehamDistribution 是由 Gumbel 分布截断得到的：
GumbelDistribution 是 MinStableDistribution 的一个特例：
GumbelDistribution 是 MaxStableDistribution 的一种变换形式：
两个来自 GumbelDistribution 的变量的差与两个来自 ExtremeValueDistribution 的变量的差服从相同的分布，即都服从 LogisticDistribution：
Gumbel 分布和 ExtremeValueDistribution 之和服从 LogisticDistribution：
GumbelDistribution 是 ExpGammaDistribution 的一个特例：
带有耿贝尔分布的 ExtremeValueDistribution 的 ParameterMixtureDistribution 遵循 LogisticDistribution：
可能存在的问题 (3)
GumbelDistribution 给出最小值的分布：
ExtremeValueDistribution 给出最大值的分布：
当 α 不是实数时，GumbelDistribution 没有定义：
当 β 不是正实数时， GumbelDistribution 没有定义：
文本
Wolfram Research (2007)，GumbelDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GumbelDistribution.html （更新于 2016 年）.
CMS
Wolfram 语言. 2007. "GumbelDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/GumbelDistribution.html.
APA
Wolfram 语言. (2007). GumbelDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GumbelDistribution.html 年