LevyDistribution

LevyDistribution[μ,σ]

表示一个位置参数为 μ、分散参数为 σ 的 Lévy 分布.

更多信息

背景

  • LevyDistribution[μ,σ] 表示一个统计分布，在区间 上成立，参数为实数 μ （被称为“位置参数”）和正实数 σ （被称为“分散参数”）. 总的来说，Lévy 分布的概率分布函数(PDF)是单峰的，“峰值”只有一个（即全局最大值），但是它整体上的形状（高度，集中于直线 附近的程度，最大值的水平位置）由 μ 和 σ 的值决定. 此外，对于较大的 值，由于 PDF 不是按指数式减小，而是呈代数式减小，PDF 的尾显得较“厚”. （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）Lévy 分布被称为稳定分布 (StableDistribution)，是因为服从 Lévy 分布的独立随机变量的线性叠加依然服从 Lévy 分，同时，注意不要与更广义的术语“Pareto–Lévy 分布”和“Lévy (α)-稳定分布”相混淆，它们是用来描述稳定分布的某些子集的.
  • Lévy 分布因法国数学家 Paul Lévy 而命名，我们很难将 Lévy 分布的历史与广义稳定分布（由 Lévy 于19世纪20年代首次进行深入研究）的历史分开，1919年，丹麦天文学家 Holtsmark 在调查引力场的随机波动时，在历史上第一次写下了 Lévy 分布的 PDF 的简化版. 因为不具备实际应用的可能，在一开始的时候，并不被当时的数学家和概率学家看好，尽管如此，现在，包括布朗运动（参见莱维飞行）在内的大量的概念分析中都运用了各种稳定分布，Lévy 分布也成为了金融工程和数学金融领域的基本工具. 另外，Lévy 分布还被用来描述各领域中的许多重要现象，比如地磁学、粒子物理学、密码学、信号处理和生物学.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的 Lévy 分布中的伪随机变数. Distributed[x,LevyDistribution[μ,σ]]，更简洁的式子为 xLevyDistribution[μ,σ]，可用来断定随机变量 x 服从 Lévy 分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[LevyDistribution[μ,σ],x] 和 CDF[LevyDistribution[μ,σ],x]，可以得到 Lévy 分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩，由于具有长尾特性，如果 ，LevyDistribution 的 阶原始矩和中心矩（包括均值和方差）为 ，矩产生函数 (MomentGeneratingFunction) 为 Indeterminate.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合 Lévy 分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 Lévy 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成 Lévy 分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式 Lévy 分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式 Lévy 分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的 Lévy 分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含 Lévy 分布的高维分布， ProductDistribution 可以计算由独立分布为 Lévy 分布所得的联合分布.
  • LevyDistribution 与许多别的分布有着紧密的关系. 例如，LevyDistribution 是 StableDistribution （准确的说，LevyDistribution[μ,σ] 其实是 StableDistribution[0,1/2,1,μ+σ,σ]） 的一个例子，因此与其它稳定分布相关，比如 CauchyDistribution、LandauDistribution 和 NormalDistribution. LevyDistribution 是 InverseGammaDistribution 和 PearsonDistribution 的一个特例，可以通过对 NormalDistribution 进行变换(TransformedDistribution)来获得. LevyDistribution 还与 HalfNormalDistribution、ChiSquareDistribution、GammaDistribution、InverseGaussianDistribution 有关.

范例

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基本范例  (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

Lévy 分布的均值和方差是无限的：

中位数：

范围  (6)

产生 Lévy 分布的伪随机数的样本：

比较直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本的密度直方图和估计分布的概率密度函数：

阶数 的矩不存在：

存在阶数为 的广义矩：

风险函数：

分位数函数：

在参数中统一使用 Quantity 产生了 QuantityDistribution：

求四分位数：

应用  (1)

求范德华光谱剖面的半值宽度：

计算最大值的位置：

求解半值点：

求宽度：

发射粒子的频率很可能大于众数：

属性和关系  (7)

在通过一个正因子进行平移和缩放的情况下，Lévy 分布是闭合的：

Lévy 分布相加所得的分布仍然是 Lévy 分布：

与其它分布的关系：

LevyDistribution[0,σ] 是 InverseGammaDistribution 的一个特例：

Lévy 分布是第五类 PearsonDistribution 的一个特例：

Lévy 分布是 NormalDistribution 的一个变换：

给定均值和尺度：

Lévy 分布是一个 StableDistribution：

可能存在的问题  (2)

当 μ 不是一个实数，LevyDistribution 没有定义：

当 σ 不是一个正实数，LevyDistribution 没有定义：

符号输出中替换无效参数，给出的结果没有意义：

巧妙范例  (1)

不同 μ 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

Wolfram Research (2008)，LevyDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LevyDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2008)，LevyDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LevyDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "LevyDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/LevyDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2008). LevyDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/LevyDistribution.html 年

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