LogisticDistribution

LogisticDistribution[μ,β]

表示均值为 μ、尺度参数为 β 的逻辑斯谛分布.

LogisticDistribution[]

表示均值为0、尺度参数为1的逻辑斯谛分布.

更多信息

背景

  • LogisticDistribution[μ,β] 表示一个连续统计分布，在实数集合 上有定义，参数为实数 μ （被称为分布的“均值”）和正实数 β （被称为“尺度参数”）. 整体来讲，逻辑斯谛分布的概率密度函数(PDF)是单峰的，只有一个“峰值”（即全局最大值），尽管它的外形（分布的高度、宽度以及最大值的水平位置）由 μ 和 β 的值决定. 此外，对于较大的 值，由于 PDF 按指数式减小，而不是代数式减小，PDF 的尾显得较 "细". （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）该分布得名于它的累积分布函数(CDF)是一个逻辑函数，逻辑斯谛分布有时被称为双曲正割平方分布，因为可以通过双曲正割(Sech)函数的平方的常数倍数来得到它的 PDF. 参数为0时的分布 LogisticDistribution[] 等价于 LogisticDistribution[0,1]，有时称这种形式为“标准” 逻辑斯谛分布.
  • 十九世纪三十年代和四十年代，法国数学家 Pierre Verhulst 首次对逻辑斯谛分布进行了研究，由 Reed 和 Berkson 在1929年的一篇论文中命名. 尽管 Verhulst 原来的兴趣在于研究人口统计学和对人口进行建模，但长期以来，逻辑斯谛分布的主要用途是作为统计学进行逻辑回归分析的一个工具. 即使在今天，逻辑斯谛分布也常被用于存活率分析，当对故障率随时间增加而增长的系统建模时，由于它能对同时被左截尾和右截尾的数据进行拟合，和性质上与之相近似的分布（比如正态分布(NormalDistribution)）相比，人们更愿意使用逻辑斯谛分布. 由逻辑斯谛分布衍生而来的工具，在包括动物学和生理学在内的各种生命科学中，经常被用于表示公差数据，在数学金融学中，分布本身则被用于对各种金融资产的风险进行建模. 还可用逻辑斯谛分布对多种现象建模，其中包括疾病传播、细胞生长和技术创新的扩散.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的逻辑斯谛分布中的伪随机变数. Distributed[x,LogisticDistribution[μ,β]] ，更简洁的式子为 xLogisticDistribution[μ,β] ，可用来断定随机变量 x 服从逆逻辑斯谛分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[LogisticDistribution[μ,β] ,x] 和 CDF[LogisticDistribution[μ,β] ,x]，可以得到逻辑斯谛分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合逻辑斯谛分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 logistic 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成逻辑斯谛分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式逻辑斯谛分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式逻辑斯谛分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的逻辑斯谛分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含逻辑斯谛分布的高维分布，ProductDistribution 可以计算由独立分布为逻辑斯谛分布所得的联合分布.
  • LogisticDistribution 与许多别的分布有关系. LogisticDistribution 可以通过对 UniformDistribution 和 ExponentialDistribution 进行变换(TransformedDistribution)来实现，也可以通过 ExponentialDistribution、GumbelDistribution 和 ExtremeValueDistribution 的各种线性组合来获得. 服从 LogisticDistribution 分布的随机变量 的对数可由 LogLogisticDistribution 来模拟，由于 PDF 和双曲正割的关系，LogisticDistribution 还与 SechDistribution 相关. 与 LogisticDistribution 有关系的分布还有 GompertzMakehamDistribution、FrechetDistribution、ParetoDistribution、WeibullDistribution、MaxStableDistribution 和 MinStableDistribution.

范例

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基本范例  (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

均值和方差：

中位数：

范围  (7)

从逻辑斯谛分布中生成一个伪随机数样本：

比较直方图和概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本的密度直方图和估计分布的概率密度函数：

偏度和峰度是常量：

以参数的函数形式表示不同矩量的解析式：

Moment:

具有符号式阶数的解析式：

CentralMoment:

具有符号式阶数的解析式：

FactorialMoment:

Cumulant:

具有符号式阶数的解析式：

风险函数：

分位数函数：

在参数中持续使用 Quantity 会生成 QuantityDistribution：

求温度分布的五数综合：

应用  (2)

逻辑斯谛分布可用于对风速求近似：

求估计分布：

比较概率密度函数和风数据的直方图：

求一天风速大于 30 km/h 的概率：

求平均风速：

模拟一个月的风速：

LogisticDistribution 非常适合用来拟合过去股票收盘价格的变动率. 求从2000年1月1日到2009年1月1日的标准普尔500指数的日价格变动率的估计分布：

比较数据直方图和估计分布的概率密度函数：

求大于 0.5% 的价格变动率的概率：

求平均价格变动率：

模拟30天内的价格变动率：

使用逻辑斯谛分布比传统上使用 LogNormalDistribution 提供了更好的拟合：

属性和关系  (11)

当平移并且使用一个正因子为比例进行缩放时，新生成的分布仍然是逻辑斯谛分布：

概率密度函数可以用 Sech 的平方表示：

逻辑斯谛分布类似 SechDistribution：

比较直方图和估计分布的概率密度函数：

比较拟合与原分布：

与其它分布的关系：

LogisticDistribution 与 LogLogisticDistribution 相关：

逻辑斯谛分布是 UniformDistribution 的一个转换：

逻辑斯谛分布是 ExponentialDistribution 的一个转换：

逻辑斯谛分布是 ExponentialDistribution 的一个转换：

GumbelDistribution 的两个变量的差服从与两个 ExtremeValueDistribution 变量的差相同的分布，即逻辑斯谛分布：

ExtremeValueDistribution 与 GumbelDistribution 的和服从逻辑斯谛分布：

逻辑斯谛分布是 ExtremeValueDistribution 的一个 ParameterMixtureDistribution：

可能存在的问题  (2)

当 μ 不是一个实数时，LogisticDistribution 没有定义：

当 β 不是一个正的实数时，LogisticDistribution 没有定义：

把无效参数代入符号式输出中，所产生的结果无意义：

巧妙范例  (1)

在 CDF 等高线下，不同 β 值的概率密度函数：

Wolfram Research (2007)，LogisticDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LogisticDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2007)，LogisticDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LogisticDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "LogisticDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/LogisticDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2007). LogisticDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/LogisticDistribution.html 年

BibTeX

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