任意の階数の方程式を指定する．通常の形への簡約は自動的に行われる：

直接，解を微分し，位相面のプロットを作成する：

方程式系を直接指定する：

ベクトル値の関数について解く：

解の4つの成分をプロットする：

二階方程式としての調和振動子の異なる同等の指定方法：

一階方程式系として：

ベクトル変数を使う：

行列値の変数を使って基本的な行列解を計算する：

厳密解と比較する：

ファン・デル・ポル(van der Pol)方程式を定義する：

デフォルトのソルバが自動的に扱う解の「硬い(stiff)」動作：

他のメソッドではこの系は解けない可能性がある：

方程式は複数の明白な解を持つことがある：

解 y[x]は，区分関数を一度積分しており，連続的である：

解 y[x]は微分可能である．これに対し y'[x]は連続なだけである：

一次元の非線形移流拡散方程式：

放物線型と双曲線型をミックスした偏微分方程式系を定義する：

2つの空間次元における周期境界条件を持った非線形正弦Gordon方程式：

最終時間で解をプロットする：

解のラジアル断面の時間の進化をプロットする：

切れ目のある領域上で波動方程式を解く：

曲線状の境界上に周期境界条件があるポアソン方程式を解く：

解を可視化する：

非線形多点境界値問題：

ディリクレとノイマンの境界条件がある非線形拡散方程式 を の初期シードから始めて解く：

結果を可視化する：

ディリクレ境界条件がある非線形方程式 を初期シード から始めて解く：

結果を可視化する：

ディリクレ境界条件がある複素値非線形反応方程式 を解く：

結果を可視化する：

非線形荷重項 がある境界値問題を解く：

結果を可視化する：

2定数遅延で初期履歴関数 を持つ遅延型の微分方程式を解く：

不連続性は から遅延と等しい間隔で伝播する：

線形遅延型微分方程式の安定性を調べる：

自動事象生成を使った不連続な右辺を持つ微分方程式：

右辺が一定の時間間隔で変化する微分方程式：

負の 軸と交差するたびに 軸に沿った解を反映する：

スライディングモードでの周期解：

代数的制約として を持つ微分方程式を解く：

常微分方程式系を特異質量行列で解く：

ヤコビ行列の行列式は0である．の導関数は存在しない：

この方程式を代数係数を持つ微分代数方程式として書き直す：

特異質量行列を含む微分方程式系を微分代数方程式として解く：

質量行列の特異点を調べる：

微分代数方程式を指数0の系に変換し，不変量を持つ方程式として解く：

デフォルトを使って初期条件に鋭敏に依存する天体力学方程式を解く：

より高い確度と精度を目標とすると結果が変わる：

目標を増やすとさらに正しい解が広がる：

非常に大きい方程式系を設定する：

すべての従属変数について解くが，x₁についての解だけを保存する：

評価の総数：

連続する評価の間の距離．負の距離は拒絶されたステップを表す：

境界値問題について初期シード0を指定する：

空間座標に依存する初期シードを指定する：

InterpolationOrder->Allを使ってメソッドと同じ次数の補間を得る：

これはデフォルトで使われている補間次数よりもはるかに時間がかかる：

ステップ間でははるかによい：

積分区間の相対的に小さいサイズの特徴は見逃されることがある：

MaxStepFractionを使って区間の大きさにかかわらず特徴が見逃されないようにする：

積分が，所望の区間よりも短い区間で止まってしまう：

解を得るためにはもっとステップ数が必要である：

位相面で解をプロットする：

振動子の無限積分の場合は，ステップ数が最大値に達する：

より多くのステップを要求することができる：

デフォルトのステップ制御では突然変化する特徴を見逃すことがある：

MaxStepSizeの設定値を小さくしてNDSolveが特徴を確実に捉えるようにする：

より小さい正の整数の数を計算しようとするといくつかの事象を見逃してしまう：

MaxStepSizeを十分小さくして事象を一つも見逃さないようにする：

さまざまな誤差推定のノルムを使った実際の解の誤差をプロットする：

最良の解のプロット：

区間が非常に大きい場合には，始点近くの長続きしない特徴は見逃されることがある：

刻み幅を十分小さくして始めると入力が見逃されない：

解の処理の中でステップが取られる各点における解をプロットする：

解を求めるのに取られたステップの総数：

連続するステップにおける x の値間の差分：

100周期を超える調和振動子の解における誤差：

作業精度を上げると，局所的な許容率もこれに伴って高くなる：

作業精度を高くすると，"Extrapolation"メソッドが非常に効果的になることもある：

100周期を超える調和振動子の解における誤差：

作業精度を上げると，局所的な許容率もこれに伴って高くなる：

作業精度を高くすると，"Extrapolation"メソッドが非常に効果的になることもある：

二重ポテンシャル井戸中の粒子についてのDuffingの方程式のシミュレーションを行う：

解は初期条件に大きく依存する：

ローレンツ(Lorenz)方程式 [詳細]：

ロトカ・ヴォルテラの捕食者と被食者の方程式 [詳細]：

位相面プロット：

Gavrilov・Shilnikovモデルで「blue sky catastrophe」軌道の外観を見る：

簡約された3体(3-body)問題 [詳細]：

いくつかの異なる初期条件に適した形：

PDEModelsの概要には，さまざまな分野からの詳細な説明付きのPDEモデルの大規模コレクションが収められている．

表面を周期的に暖めた場合の深さ x における地熱の簡単なモデル：

周期境界条件を持った単純な波の進化：

解をプロットする：

Wolframの非線形波動方程式 [詳細]：

Wolframのディリクレ条件がある非線形波動方程式[詳細]を使ってモデル化する．

初期条件と境界条件を定義する：

方程式を解く：

結果を可視化する：

2空間次元におけるWolframの非線形波動方程式：

非線形シュレディンガー(Schrödinger)方程式における周期的なソース項によって駆動される移動ソリトン：

非線形シュレディンガー方程式の周期ポテンシャルのもとで移動するソリトン：

Korteweg-de Vries (KdV)方程式を標準形で定義する：

周期境界条件がある移動ソリトン解を求める：

KdV方程式の別の形を定義する：

sech-2乗初期条件から2つのソリトンに分裂させる：

Stokesの方程式を使って狭窄水路内の流速場を計算する：

ロッドの熱源で温度場をモデル化する：

偏微分方程式を解く：

解を可視化する：

過度音圧場についてのモデル変数 vars をモデルパラメータ pars で定義する：

右に進む音波 を初期条件 ics で定義する：

右端の音のハード境界で方程式を設定する：

偏微分方程式を解く：

時間領域で音場を可視化する：

1つの反応速度でさまざまな材料を通過する1D化学種の移動をモデル化する．右辺と左辺はそれぞれ質量濃度と流入条件に従う：

定常物質移動モデル変数 vars を設定する：

領域 を設定する：

領域 でアクティブな，物質移動モデルパラメータ種拡散率 と反応率 を指定する：

種流束境界条件を指定する：

質量濃度境界条件を指定する：

方程式を立てる：

偏微分方程式を解く：

解を可視化する：

方程式とその係数の過渡Gray–Scott系を設定する：

初期条件として，なら および でそれ以外の場合は0と設定する：

と の両方を境界上では0と設定する：

細分化した要素メッシュ乗で方程式系を解く：

結果を可視化する：

過渡Landau–Ginzburg方程式を設定する：

機械のアンダーフローが回避されるような初期条件を設定する：

境界条件を指定する：

指定された間隔のメッシュ上で方程式を解く：

結果を可視化する：

ブラックショールズ方定式．目標は，ブラック・ショールズ・モデルを使ってヨーロピアン・バニラ・コール・オプションの価格を決定することである．ここで，原資産価格 と行使価格 はどちらもドル，無リスク金利 は，資産のボラティリティ は，オプションの満期期間 は1年である．

パラメータを定義する：

資産価格 の境界を定義する：

PDEを定義してパラメータを置換する：

終了条件を設定する：

境界条件は，資産価格が非常に低い下界においてオプションの価値が0になるように選択される．上界の条件はプット・コール・パリティから来る．

境界条件を指定する：

細分化されたメッシュ上でPDEを解く：

時点 における資産価格についてオプションの値をチェックする：

時間範囲全体について，取得した数値解をプロットする：

FinancialDerivative関数を使って関数を定義して，オプションの価格を取得する：

FinancialDerivativeが与える慣習的に真である値を調べる：

2つの値の間の誤差を計算する：

時点における数値解と慣習的に真である解の間の差をプロットする：

呼吸力学におけるMackey–Glassの遅延型微分方程式の解を見る：

それぞれのバウンドで速度の95%を保ちながらバウンドするボールのシミュレーションを行う：

階段を跳ねながら落ちるボールのシミュレーションを行う：

線形振動解が負の 軸と交差するたびにこれを 軸に沿って反射させる：

このリセットされた振動子の解はカオス的動作を示している：

負の 軸上の解を反射点のヒストグラムとともにプロットする：

正弦波入力のある自由度1の衝撃振動子をモデル化する：

一定時間間隔で刺激が与えられる減衰振動子をモデル化する：

軌跡は徐々に一定した軌道に落ち着く：

直交座標で振子の動きをモデル化する．ニュートンの運動の第2法則 および を示力図とともに使って支配方程式を導く：

系のシミュレーションを行う：

振子に減衰を加え，時間とともに速度が落ちるようにする：

振子は垂直の固定点で安定する：

制約条件 を変更して棒を硬いバネに替える：

この解には高周波のバネの振動が含まれる：

水平平面から放たれる，単位質量と単位長の二重振子をモデル化する．まず，ニュートンの運動の第2法則を使って方程式を導く：

方程式と制約条件を不変量として強制することで，系のシミュレーションを行う：

二重振子の動きを可視化する：

動いているコンベヤベルト上の，粘度摩擦，クーロン摩擦，ストライベック摩擦，静摩擦を含むまざまな摩擦推力 を使ったバネで壁に固定されたブロックをモデル化する．各モデルについて位置と速度を比較する：

ブロックについてのニュートンの方程式：

粘性摩擦は相対速度 に比例する：

ブロックはバネの自然長1で安定する：

クーロン摩擦は相対速度 の符号に比例する：

ブロックはバネの力が十分強くなるまでベルトとともに動く：

「Stribeck摩擦」は改良されたクローン摩擦 である：

低速度での変化は若干減じられる：

ストライベック摩擦は，バネの力がベルト表面の粗さに依存する値 μ を超えるまでブロックを一定の位置に保つ．離散変量 stuck は，ブロックが動かない場合は1に，それ以外の場合は0に設定する：

バネの力が μ より小さいかどうか，またブロックがベルトと相対的に移動していないかどうかをチェックする：

ブロックは繰り返しベルトに着いて動かなくなり，次にバネの力によって引き戻される：

各モデルを比較する：

時間 ，電圧 に対するRLC回路のステップ応答のシミュレーションを行う：

成分法則を接続に関するキルヒッホフ(Kirchhoff)の法則と一緒に使う：

ステップ応答のシミュレーションを行う：

時間 ，電圧 に対するRLC回路のステップ応答のシミュレーションを行う：

ステップ応答のシミュレーションを行う：

ステップ応答を示す：

並列RLC回路の動作のシミュレーションを行う：

一定の入力電流のもとでの応答を示す：

R，L，Cの各コンポーネントにおける電流とその結果の電圧を示す：

トランジスタ増幅器の回路をモデル化する：

入力電圧 は正弦的に変わる：

トランジスタは に依存して非線形的に電圧を発する：

オームの法則とキルヒッホフの法則を使って各ノードの支配方程式を求める：

方程式の特異系のシミュレーションを行う：

トランジスタは，と相対的に電圧 を増幅する：

入力電圧レベル vi から希望する出力電圧レベル vd へのDC-DCブーストコンバータをパルス幅変調フィードバック制御 q[t]を使ってモデル化する：

キルヒッホフの法則を使って上記回路のモデルを得る：

制御信号 q[t]が各周期 τ の vi/vd の割合でトランジスタをオンにする：

低電圧 vi=24から始めて高電圧 vd=36にする：

パルス幅変調フィードバック制御 q[t]を使って入力電圧レベル vi から希望する出力電圧レベルl vo へのDC-DC バックブーストコンバータをモデル化する：

キルヒッホフの法則を使って上記回路のモデルを得る：

制御信号 q[t]が各周期の vd/(vi+vd)の割合でトランジスタをオンにする：

低電圧 vi=24から始めて高電圧 vd=36にする：

高電圧 vi=24から低電圧 vd=16に進む：

2本の円柱タンクがあり，水が一方のタンクからもう一方のタンクへとパイプを通って移動する．タンクの水面の高さの変化をモデル化する：

圧力の関係 と質量保存を使う：

Hagen–Poiseuilleの関係を使ってパイプを通る流れのシミュレーションを行う：

系のシミュレーションを行う：

2番目のタンクを水漏れするタンクとしてモデル化する：

2番目のタンクの水漏れのために，両方のタンクがいずれ空になる：

パイプを通って片方のタンクからもう一方のタンクに水が流れる．この半円形の2つのタンクの水位変化をモデル化する：

1つのタンクが他の2つのタンクに水を供給する3つのタンクがある．この3つのタンクの水位変化をモデル化する：

Hagen–Poiseuille関係でパイプを通る水の流れをモデル化する：

最初のタンクからの流量は他の2つのタンクの流量の和に等しい：

系のシミュレーションを行う：

3番目のタンクを水漏れのあるタンクとしてモデル化する：

最初の2つのタンクは平衡に達し，次に同じ比率で空になる：

自己触媒反応の運動をモデル化する：

    

反応速度式は次で与えられる：

種a，b，cの濃度は常に一定である：

3つの種の進化を解き，これを可視化する：

二酸化炭素と連続的に混ざり合うFLBとZHUの2つの種の化学反応をモデル化する：

容積単位あたりの二酸化酸素の流入は以下で示される：

反応速度式は以下として与えられる：

平衡方程式は以下で与えられる：

方程式を解き，FLB，ZHU，CO2，ZLAの濃度の変化を求める：

初期条件から遠ざかるにつれて誤差も大きくなる傾向がある：

数値解と厳密解の差分を求める：

非線形方程式の誤差：

高次のアルゴリズムでは，デフォルトの補間はステップ間で大きい誤差を生むことがある：

アルゴリズムに対応した次数の補間を使うとステップ間の誤差が小さくなる：

有限要素法が使うアルゴリズムの中には決定論的ではないものがある．このことは，このアルゴリズムの中で何らかの偶然性が使われ，同じ入力の実行結果に若干の差が出ることを意味する：

同じ偏微分方程式を2度解く．2つの解には小さい差があるかもしれない：

NDSolveは指数が1より大きい系を自動的には処理しない：

高指数の系は，系の指数を低くすると解くことができる：

これは，微分代数方程式系である：

で解を求める：

NDSolveは，で解が求まらない場合は，指定された初期条件を変えることがある：

反復に関する最初の推定を変え，問題を回避する：

NDSolveは指数1に限定されるが，の解の指数は2である：

高指数の系を解く場合は，指数減少法を使って微分代数方程式の指数を1にするとよい：

デフォルトのメソッドではデフォルトの許容度には収束できないかもしれない：

AccuracyGoalとPrecisionGoalの設定値を低くすると解が求まる：

"StateSpace"時間積分法はデフォルトの許容度でこの問題を解くことができる：

PDEModelsの概要には，さまざまな分野からの詳細な説明付きのPDEモデルの大規模コレクションが収められている．

非線形偏微分方程式を定義する：

空間的な離散化は初期値に基づいており，それは最終値に比べると変化が少ない：

空間的な格子点の最小数を大きくすることで，最終値が正確に計算できるようになる：

このプロットは，空間的により複雑な解のオンセットを示している：

初期値が階段関数の熱伝導方程式を定義する：

初期値における不連続性によって空間格子点が多すぎるようになるかもしれない：

空間格子点の数をより少なく設定しても，基本的に同じような解になる：

初期値のあるラプラス(Laplace)方程式を定義する：

このソルバは初期値(Cauchy)問題としてよく設定できた方程式にしか使えない：

設定不良だと数値的に不安定になる：

これは，境界値問題の自明な解を求める：

解の探索に開始条件を加えることで，他の解を求めることができる：

未知の関数の定義が評価に影響することがある：

未知の関数についての定義をクリアすると，この問題は解決する：