在约束条件 下最小化 ：

当矩阵 是正半定时最小化 ：

求解：

在线性矩阵不等式约束 下最小化 ：

约束的左手边可以计算格式给出：

用目标向量和约束矩阵表示问题：

使用向量变量 ：

使用向量变量 和 Inactive[Plus] 避免意外的线程：

使用向量变量 和参数方程避免意外的线程：

使用向量变量 和 Indexed[x,i] 指定单个分量：

在不明确时，使用 Vectors[n] 指定向量变量的维度：

多个线性不等式约束可用 VectorGreaterEqual 表示：

使用 v>= 或 \[VectorGreaterEqual] 输入向量不等式符号 ：

使用标量不等式的等价格式：

使用向量变量 和向量不等式：

使用 NonNegativeReals () 指定非负约束：

使用向量不等式的等价格式：

可以使用格式 的二阶圆锥约束：

可以使用 格式 的 "NormCone" 约束：

使用 Integers 指定整数域约束：

使用 Vectors[n,Integers] 指定向量变量的整数域约束：

使用 NonNegativeIntegers () 指定非负整数域约束：

使用 NonPositiveIntegers () 指定非正整数域约束：

使用 Complexes 指定复数变量：

在线性矩阵不等式中，约束矩阵可以是埃尔米特矩阵或实对称矩阵：

线性矩阵不等式中的变量需要为实数才能使总和保持为埃尔米特：

约束为 时最小化函数 ：

获取作为向量的原始最小化器：

获取最小化值：

提取目标向量：

提取约束矩阵：

为直接输入使用提取的目标向量和约束矩阵：

在最小化器 的不等式 的松弛性由 给定：

提取最小化器并约束矩阵：

验证松弛矩阵满足 ：

约束为 时最小化 ：

对偶问题是在约束 下最大化 ：

由于强对偶性，原始最小值和对偶最大值相同：

这相当于对偶间隙为零. 一般来说，在最优点 ：

使用从原始问题中提取约束矩阵构建对偶问题：

提取目标向量和约束矩阵：

对偶问题是在约束 下，最大化 ：

使用解的属性直接获取对偶最大值和对偶最大器：

"DualMaximumValue" 是：

可用如下方法获取 "DualMaximizer"：

使用 "ConstraintSensitivity" 找到由于约束扰动导致优化值的改变：

敏感性是一个矩阵：

考虑新的约束 ，其中， 是扰动：

近似新优化值是：

比较直接求解扰动问题：

根据敏感矩阵元素改变优化值：

在负敏感元素位置，正扰动会减小优化值：

在正敏感元素位置，正扰动会增加优化值：

使用西尔维斯特 （Sylvester） 的半定性标准符号式表达扰动的约束：

使用此格式，可以精确地在 0 附近找到作为参数函数的最小值：

使用相对于参数的最小值的导数制作对称矩阵：

这是由 "ConstraintSensitivity" 属性给定的扰动的敏感性：

约束灵敏度也可以作为对偶最大化器的负数获得：

默认方法 "CSDP" 是内点方法：

"DSDP" 是其他内点方法：

"SCS" 使用分裂圆锥求解器方法：

不同的方法会有不同的容差，它会影响准确度和精度：

计算精确和近似解：

"CSDP" 和 "DSDP" 有 默认容差：

"SCS" 有 的默认容差：

当默认方法 "CSDP" 产生一条信息，首先尝试 "DSDP"：

在这种情况下，"DSDP" 成功找到了一个好的解决方案：

带有 10^-3 默认容差的 "SCS" 是另一种可尝试的方法：

"SCS" 的结果质量通常可以通过较小的 Tolerance 来改善：

选项 PerformanceGoal 的默认值是 $PerformanceGoal：

使用 PerformanceGoal"Quality" 获取更精确的结果：

使用 PerformanceGoal"Speed" 更快获取结果，但代价是质量：

比较时间：

"Speed" 目标给出一个少一些准确的结果：

更小的 Tolerance 设置给出更精确的结果：

用 Minimize 计算精确的最小值：

计算带有不同 Tolerance 设置的最小值的误差：

根据容差可视化最小值误差的变化：

更小 Tolerance 设置给出更精确的结果，但花更长时间计算：

更小容差花时更长：

更严格的容差给出了更精确的答案：

最大化 受限于 . 通过负向目标函数求解最大化问题：

负向原始最小值获取对应的最大值：

求最小化对称矩阵的最大特征值的 ，对称矩阵线性依赖于决策变量 , . 该问题可以作为线性矩阵不等式被公式化，因为 等价于 ，其中， 是 的第 个特征值. 定义线性矩阵函数 ：

实对称矩阵 可用正交矩阵 对角化，所以 . 因此 当且仅当 . 既然，任何 都接受 ，，因此 当且仅当 . 数值模拟显示这些公式是等价的：

导致的问题：

运行 Monte Carlo 仿真检查结果的合理性：

求最大化对称矩阵 最小特征值的 ，对称矩阵线性依赖于决策变量 . 定义线性矩阵函数 ：

问题可以作为线性矩阵不等式被公式化，因为 等价于 ，其中， 是 的第 个特征值. 为了最大化 ，先最小化 ：

运行 Monte Carlo 仿真检查结果的合理性：

求最小化对称矩阵 的最大和最小特征值之间差的 ，对称矩阵线性依赖于决策变量 . 定义线性矩阵函数 ：

该问题可以作为线性矩阵不等式被公式化，因为 等价于 ，其中， 是 的第 个特征值. 求解由此产生的问题：

在这种情况下，最小和最大特征值巧合，差值为 0：

通过对对称矩阵 取线性绝对特征值最小化最大的 ：

最大的特征值满足 最大绝对值的负 特征值是最大的 特征值并满足 ：

求最小化 线性矩阵 中最大奇异值 的 ：

的最大奇异值 是 最大特征值的平方根，而且根据前面的例子，它满足 或等价于 ：

绘制结果：

最小化 . 使用辅助变量 ，把问题转换为最小化 ，因此 . 这个与 一样:

Schur 补充条件表示，如果 ，则块矩阵 当且仅当 . 因此，当 ， ⧦ ，当 ，使得 必须为 0：

直接使用约束 ，并自动转换成半定格式：

最小化 受限于 ，假设 ，当 . 使用辅助变量 ，目标是最小化 ，使得 ：

检查 蕴涵 ：

使用 Schur 补充条件， 当且仅当 . 使用 Inactive[Plus] 构建约束避免线程：

对于二次集 ，其包括椭球、二次锥和抛物线，确定是否 ，其中， 是对称矩阵， 是向量， 是标量：

假设集合 是全维的，S-进程表明 当且仅当存在一些非负数 使得 视觉上存在非负 ：

因为 λ≥0，因此 ：

最小化 受限于 . 把目标 转换成带有额外约束 的线性函数 ，其等于 ：

最小化 受限于 . 使用 和额外约束 把目标转换成线性函数：

最小化 受限于 . 把目标转换成带有额外约束 的线性函数 ，其等于 ：

最小化 受限于 ，其中，通过最小化 ， 是一个非递减函数. 原始最小化 将保持不变. 考虑最小化 ，受限于 :

真正的最小值可以通过应用 到 的最小值获取：

通过最小化拟合离散数据集的 求五阶多项式的系数 ：

选择多项式基并使用 DesignMatrix 构建输入矩阵和输出向量：

使用辅助变量 ，目标被转换成最小化 使得 ，其等于 如基本模型变换所示：

比较数据的拟合：

通过使用切比雪夫基最小化 找到在对数比例上变化的离散数据的近似函数：

选择切比雪夫基础函数计算在随机数据点上的值：

因为数据是对数比例，直接数据拟合并不理想. 所以把问题转换成最小化 . 使用辅助变量 ，最小化 使得 . 该约束等价于 ：

求近似函数的系数：

导致的拟合是：

可视化拟合：

数据拟合可以直接使用 Fit 获得. 然而，没有对数转换的话在近似函数中会有显著的振荡：

用平方和多项式 表示双变量多项式 ：

目标是找到 使得 ，其中， 是单项式的向量：

构建对称矩阵 ：

求 和 的多项式系数并确保它们是相等的：

求 的元素：

二次项 ，其中， 是从 的 Cholesky 分解获得的下三角矩阵：

与给定的多项式比较平方和多项式：

基数约束最小二乘：最小化 ，使得 最多有 个非零元素：

令 为决策向量，如果 ，则 非零. 决策约束条件为：

为了模拟约束条件 时 ，选择一个大的常数 ，使得 ：

使用辅助变量 ，目标被转换为最小化 ，使得 ，相当于 ：

求解基数约束最小二乘问题：

也可以用 Fit 通过 正则化更高效地完成子集选择. 首先，找到最多使用 个基函数的正则化参数的范围：

求 正则化拟合中的非零项：

求只含有这些基本项的拟合：

从候选函数集中找到最佳函数子集，以近似给定数据：

近似函数为 :

在最后的近似中最多使用 5 个基函数：

与未选择的函数关联的系数必须为零：

求最佳函数子集：

将所得近似与给定数据相比较：

求可包围一组点的圆心位于 、半径为 的最小圆盘：

对于每个点 ，必须满足约束条件 . 该约束条件等价于 . 在构建约束条件时使用 Inactive：

通过最小化半径 找到包围圆盘：

可视化该区域：

可通过 BoundingRegion 找到面积最小的包围圆盘：

通过最小化面积求参数化为 的、可包围一组点的最小椭圆：

每个点 必须满足约束条件 ：

面积与 成正比. 应用单调函数 Log，要最小化的函数变为 . 这相当于最小化 ：

把参数化的椭圆转换成显式格式 ：

可以用 BoundingRegion 求边界椭圆（面积不一定最小）：

最优椭圆有更小的面积：

通过最小化体积求参数化为 的、可包围一组三维点的最小椭圆：

每个点 必须满足约束条件 ：

最小化体积等价于最小化 ，它等价于最小化 ：

把参数化椭圆转换成显式格式 ：

可以用 BoundingRegion 求边界椭球（体积不一定最小）：

求参数化为 的、可放入凸多边形内的面积最大的椭圆：

凸多边形的每个边可以表示为半平面 的交点:

把参数化应用到半平面给出 . 其中 . 因此，约束条件为 ，它等价于 ：

最小化面积等于最小化 ，它等价于最小化 ：

把参数化椭圆转换成显式格式 ：

求由 给定的包围三个椭圆（形式为 ）的圆盘的中心 和半径 ：

通过 S-procedure，可得出当且仅当 ，圆盘才包含椭圆：

目的是最小化由 给定的半径 . 使用辅助变量 ，目标变为最小化使得 的 ，可以写为 ：

求圆盘的中心和半径：

圆盘为：

把椭圆的二次格式转换成显式格式 ：

可视化结果：

验证椭球是否是另一个形式为 的椭球的子集：

通过 S-procedure，可得出当且仅当 ，椭圆 2 才是椭圆 1 的子集：：

检查条件是否满足：

把椭球转换为显式格式并确认椭圆 2 在椭圆 1 内：

移动椭球 2 使其与椭球 1 重叠：

测试显示问题是不可行的，表明椭球 2 不是椭球 1 的子集：

求分隔两组点 和 的椭圆:

如果想要分隔两组点，集合 1 必须满足 . 集合 2 必须满足 ：

求分隔椭球的系数：

可视化结果：

求可分隔两组点 和 的最接近于圆的椭圆：

如果想要分隔两组点，集合 1 必须满足 ，集合 2 必须满足 ：

对于尽可能接近于圆的椭圆，约束条件为 ：

通过最小化 求分隔椭圆的系数：

可视化结果：

使用半定优化可计算的 Lovász 数被用作硬计算图不变量的边界：

Lovász 数是图的香农容量的上界：

根据 Lovász 三明治理论:

图 的 Lovász 数 由 给出，其中，，对于 ， 且 . 可以写成对偶半定格式：, ，受限于 和 ，否则为 0：

比较 GraphData 中确切的 Lovász 数值：

求当没有精确值时， 的近似结果：

求随机图的 ：

矩阵切割问题确定图的顶点 的子集 ，从 跨到补集 的边的权重 之和被最大化. 对于 ，让 ，对于 ，让 . 最大化 ，其中， 和 是图的拉普拉斯矩阵：

对于较小的情况，最大切割问题可以被精确地解决，但是对于较大的图来说，这是不切实际的，因为一般来说，这个问题具有NP-完备复杂度：

问题最小化 ，其中， 是对称秩-1正半定矩阵，对于每个 ，，等价于 ，其中， 是在第 个对角位置为 1 ，其他为 0 的矩阵. 为了使解决方案切实可行，求解松弛问题，其中，秩-1 条件被消除. 对于该 ，通过随机舍入构建切割： 分解 ，令 是单位范数的均匀分布的随机向量，并且令 . 对于演示，显示松驰值的函数被定义， 中舍入值和带有顶点的图显示为红色：

使用之前显示的程序查找近似最大切割，并与确切结果进行比较：

找到网格图的最大切割：

找到随机图的最大切割：

比较彼得森图的松弛和精确算法的时间：

求指定的图（顶点为 ）的子集 ，使得从 到补集 的边的权重 的和最大化. 指定图：

目标是最大化 ，其中 是对称的 rank-1 正半定矩阵， 是图的拉普拉斯矩阵：

对于 ，设 ，对于 ，；则 ，：

去除 rank-1 矩阵的假设，对产生的最大割问题进行求解：

提取子集 和 ：

显示图的子集：

显示线性动力系统 对任何初始条件都是渐近稳定的. 当且仅当存在一个正定矩阵 使得 ，其中， 被称为 Lyapunov 函数，则认为该系统是稳定的：

微分 Lyapunov 函数 给出 . 因此，稳定条件是 ：

求矩阵 ：

的特征值均是负数，制作矩阵负定，证明稳定性：

由于系统的解析解是 ，因此在数值上验证任何系统在任何初始条件下都将变为零. 对于此模拟，取 :

找到一个控制器 ，使得闭环系统 稳定：

使用 Lyapunov 稳定性定理，目标是找到矩阵 使之满足稳定性约束 . 令 ，第一个约束成为适当的半定约束 ：

找到矩阵 ：

控制矩阵可以计算为 ：

如果 的特征值的实部为负，则闭环系统是稳定的：

执行数字计算以查看系统是否稳定：

找到动力系统 的 Lyapunov 函数：

目标是找到 使得 ，其中 是单项式的向量：

构造矩阵 ：

为了稳定性，：

匹配系数，使得它们对于 都是正的，对于 是负的：

找到矩阵 ：

Lyapunov 函数由下式给出：

可视化 Lyapunov 函数. 函数的最小位置与吸引子的位置匹配：

设计一个最小重量的桁架，一端固定在墙上，必须能够承受另一端的负载：

可以用 link 和节点对桁架进行建模. 每个节点通过 link 连接到相邻节点. 指定节点位置 ：

指定锚定到墙上的节点：

指定要施加负载的节点：

指定通过 link 相互连接的节点，并计算每个 link 的长度：

可视化未优化的桁架：

link 为圆杆. 每个 link 必须从一组横截面为 的圆杆中选择. 设 为每个link 的决策变量，如果 ，则圆杆 被选中. 对于 link ，面积被定义为 . 目标是最小化重量：

选择圆杆的约束条件为：

每个link 只能选择一个圆杆. 二进制约束条件为：

给出不是锚定点的节点的索引：

系统的刚度矩阵由 给出，其中 是节点的总数， 是锚定的节点的数量， 是所有 link 的集合. 如果 ，向量 ；如果 ，，否则为 0：

设 为整个系统的受力向量. 在每个没有被锚定的节点处，受力为 . 在节点 处施加力：

设 为任何节点处允许的最大的挠度. 设 为节点 的位移；那么，如果 ，则有 ，其中 是与 link 关联的刚度矩阵：

收集所有变量：

求桁架的最优结构：

提取构成最优桁架的 link：

可视化最优桁架. 对于构成最优桁架的 link，基于使用的圆杆的面积对其着色：