WaringYuleDistribution

WaringYuleDistribution[α]

表示一个具有形状参数 α 的 Yule 分布.

WaringYuleDistribution[α,β]

表示一个具有形状参数 α 和 β 的韦林（Waring）分布.

背景

WaringYuleDistribution[α,β] 表示一个离散统计分布，定义于整数值，并由正实数参数 α 和 β（被称为“形状参数”）. Waring–Yule 分布的概率分布函数 (PDF) 是离散和单调递减的，其整体形状（展布和陡度）由 α 和 β 的值决定. Waring–Yule 分布有时也被称作 Waring 分布，其单参数形式 WaringYuleDistribution[α] 等价于 WaringYuleDistribution[α,1]，常常被称作 Yule 分布或 Yule–Simon 分布.
尽管 Waring 的工作可追溯至十八世纪，Waring–Yule 分布的历史实质上是从单参数的 Yule–Simon 分布的诞生开始的，由 H. A. Simon 于二十世纪五十年代中期第一次对分布进行了综合整理，并将其命名于英国统计学家 G. U. Yule，缘由是 Yule 在1925 发现并将该分布用于与行为演化有关的随机过程. 上面所述的双参数形式可追溯到 Irwin 在二十世纪六十年代的工作，在之后的几十年里，Waring–Yule 分布的许多推广形式被发现和研究. 这些推广形式被用来描述与网络分析、药学和事故理论有关的现象.
RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的 Waring–Yule 分布中的伪随机变数. Distributed[x,WaringYuleDistribution[α,β]]，更简洁的式子为 xWaringYuleDistribution[α,β]，可用来断定随机变量 x 服从 Waring–Yule 分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
通过使用 PDF[WaringYuleDistribution[α,β],x] 和 CDF[WaringYuleDistribution[α,β],x]，可以得到 Waring–Yule 分布的概率密度和累积分布函数，但我们要注意，Waring–Yule 分布的概率分布函数的解析式是不存在的. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩，同时，可以使用 DiscretePlot 来绘制上述各量的图形.
可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合 Waring–Yule 分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 Waring–Yulef 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成 Waring–Yule 分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式 Waring–Yule 分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式 Waring–Yule 分布的分位数的比较图.
可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的 Waring–Yule 分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含 Waring–Yule 分布的高维分布， ProductDistribution 可计算独立分量包括 Waring–Yule 分布的联合分布.
WaringYuleDistribution 和许多其他统计分布有关. 它是 BetaNegativeBinomialDistribution 的特例，因为 WaringYuleDistribution[α,β] 的 PDF 和 BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,1] 的 PDF 完全一致. 而且，由于WaringYuleDistribution[a] 的 PDF 等价于 GeometricDistribution[w^1/a] (当时，wUniformDistribution[]) 的 PDF， WaringYuleDistribution 还可通过 GeometricDistribution 和 UniformDistribution 的参数混合 (ParameterMixtureDistribution) 而实现. WaringYuleDistribution 还与 PoissonDistribution、PoissonConsulDistribution 和 PolyaAeppliDistribution 密切相关.

范例

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基本范例 (6)

Yule 分布的概率质量函数：

Yule 分布的累积分布函数:

Yule 分布的均值和方差：

韦林分布的概率密度函数：

韦林分布的累积分布函数：

韦林分布的概率密度函数：

范围 (7)

生成具有韦林分布的伪随机数样本：

比较直方图和概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本的密度直方图与所估计分布的概率密度函数：

Yule 分布的偏度：

求偏度达到最小值处：

韦林分布的偏度：

Yule 分布的峰度：

求峰度达到最小值处：

韦林分布的峰度：

以参数的函数形式表示不同矩量的解析式：

Yule 分布的 Moment：

Yule 分布的 CentralMoment：

Yule 分布的 FactorialMoment：

Yule 分布的 Cumulant：

韦林分布的 Moment：

韦林分布的 CentralMoment：

韦林分布的 FactorialMoment：

韦林分布的 Cumulant：

Yule 分布的风险函数：

韦林分布：

分位数函数：

应用 (3)

WaringYuleDistribution 的累积分布函数是右连续函数的一个范例：

属中新种产生的速率为，新属以更慢的速率产生. 所有年龄层的属的大小的极限频率分布为 WaringYuleDistribution. 假设：

绘制 PDF 的对数：

求一个属中产生不超过5000种的概率：

随机选择字符和空白产生产生一系列词，由此产生的词的大小可以用 WaringYuleDistribution 模拟：

属性和关系 (5)

与其它分布的关系：

Yule 分布是 BetaNegativeBinomialDistribution 的一个特殊情形：

韦林分布是 BetaNegativeBinomialDistribution 的一个特殊情形：

当 β=1，韦林分布简化为 Yule 分布：

可以用 GeometricDistribution 和 UniformDistribution 的参数混合获得 Yule 分布：

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