ZipfDistribution

ZipfDistribution[ρ]

表示一个带有参数 ρ 的 zeta 分布.

ZipfDistribution[n,ρ]

表示一个范围为 n 的齐夫分布.

更多信息

背景

  • ZipfDistribution[n,ρ] 表示一个离散统计分布，定义于整数值 ，并由正实数 ρ 和正整数 n （分布的范围）所确定. Zipf 分布的概率密度函数(PDF)是离散和单调递减的，其整体形状（展布、分布域和陡度）由 ρ 和 n 的值决定. 此处所说的 Zipf 分布有时也被称作 Estoup 分布. 单参数形式为 ZipfDistribution[ρ]，等价于 n→∞ 时 ZipfDistribution[n,ρ] 的极限，为通常情况下大家所讲的 Zipf 分布，尽管它也可以被称作 zeta 分布、Zipfian 分布或离散 Pareto 分布（不要与连续 ParetoDistribution 分布相混淆）.
  • Zipf 分布得名于美国语言学家 George Zipf，从二十世纪三十年代到四十年代，他在自己关于行为和心理学的工作中大量运用 Zipf 分布. 尽管早在1912年，法国速记员 Jean-Baptiste Estoup 已经在类似领域对该分布进行了研究和运用，但 Zipf 从工作中发现了如今广为人知的齐普夫定律（以 Zipf 分布为基础），定律的内容为：在自然语言的使用中，词的频率与其在该语言的词表中的排名成反比. 因此，Zipf 分布在现代社会中的许多应用都与语言学和语义学有关，同时，Zipf 分布也被用于分析数论、生物学和经济学中的现象.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的 Zipf 分布中的伪随机变数. Distributed[x,ZipfDistribution[n,ρ]]，更简洁的式子为 xZipfDistribution[n,ρ]，可用来断定随机变量 x 服从 Zipf 分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[ZipfDistribution[n,ρ],x] 和 CDF[ZipfDistribution[n,ρ],x]，可以得到 Zipf 分布的概率密度和累积分布函数，但我们要注意，Zipf 分布的概率分布函数的解析式是不存在的. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩，同时，可以使用 DiscretePlot 来绘制上述各量的图形.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合 Zipf 分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 Zipf 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成 Zipf 分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式 Zipf 分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式 Zipf 分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的 Zipf 分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含 Zipf 分布的高维分布， ProductDistribution 可计算独立分量包括 Zipf 分布的联合分布.
  • ZipfDistribution 和许多其他统计分布有关. Zipf 分布经常被认为是 ParetoDistribution 的离散化版本，因此与 PowerDistribution、StableDistribution、ExponentialDistribution、PearsonDistribution 和 BetaPrimeDistribution 都有关. ZipfDistribution 还与 CauchyDistribution、LevyDistribution、PoissonDistribution、PoissonConsulDistribution 和 SkellamDistribution 相关.

范例

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基本范例  (4)

概率质量函数：

在有限范围的情况下：

累积分布函数：

在有限范围的情况下：

均值：

方差：

范围  (7)

生成服从齐夫分布的伪随机数样本：

比较直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

根据样本数据估计分布参数：

比较样本的密度直方图与所估计分布的概率密度函数：

偏度：

求偏度为最小值处：

范围为 n 时：

峰度：

求峰度为最小值处：

范围为 n 时：

以参数的函数形式表示不同矩的解析式：

Moment：

Moment 有相应的解析式表示：

范围为 n 时：

具有符号式阶数的解析式：

CentralMoment：

范围为 n 时：

FactorialMoment：

范围为 n 时：

Cumulant：

范围为 n 时：

风险函数：

范围为 n 时：

分位数函数：

范围为 n 时：

应用  (6)

ZipfDistribution 的 CDF 是右连续函数的一个例子：

在文本中单词计数服从齐夫分布：

对单词频率数据进行 ZipfDistribution 拟合：

比较频率直方图和估计分布：

求一个单词出现次数多于10次的概率：

求单词出现的平均数：

根据流行度对15个网页进行排名，访问频率服从 的齐夫分布. 求访问频率的分布：

求访问排名第一的网页的概率：

求访问排名最后的五个网站之一的概率：

模拟30次独立的访问：

在线电影租赁网站拥有2000个影片名称，在缓存中保持最流行的影片名称，以提供更快捷的服务. 求在缓存中必须保存的最小影片名称数，以使得被请求的电影在缓存中的概率为 0.99：

ZipfDistribution 可用于建立随机数间的 GCD 的分布模型：

创建一个随机样本：

用齐夫分布拟合数据：

用一个数据范围内的齐夫分布拟合数据：

比较样本的直方图和两个估计分布：

比较对数似然值：

有限范围的条件明显改变了分布的统计量：

标准偏差：

中位数是一样的：

在恐怖袭击下的死亡和受伤人数服从 ZipfDistribution：

用一个齐夫分布拟合数据：

比较数据的直方图和估计分布的 PDF：

属性和关系  (7)

得到正整数以外的任意实数的概率是零：

概率质量和随机变量具有幂律关系：

齐夫分布中第 个值与第一个值的相对频率是 的幂：

在极限情况下，第二个值的频率是第一个值的 ，第三个值的频率是第一个值的 ，依此类推：

在截断情况下，新生成的分布仍然是齐夫分布：

有范围：

与其它分布的关系：

在极限情况下，两个齐夫分布相等：

Khintchine 的无限可约分 Riemann zeta 分布与 ZipfDistribution 相关：

验证 ζ 的特征函数是 Riemann zeta 函数的预期比率：

可能存在的问题  (2)

ZipfDistribution 在 ρ 为非正数时没有定义：

用无效参数代入符号式输出，得到的计算结果没有任何意义：

Wolfram Research (2007)，ZipfDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ZipfDistribution.html （更新于 2010 年）.

文本

Wolfram Research (2007)，ZipfDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ZipfDistribution.html （更新于 2010 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "ZipfDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2010. https://reference.wolfram.com/language/ref/ZipfDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2007). ZipfDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ZipfDistribution.html 年

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