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GaussianOrthogonalMatrixDistribution[σ,n]

行列次元 {n,n}，尺度母数 σ のガウス(Gauss)直交行列分布を表す．

GaussianOrthogonalMatrixDistribution[n]

単位尺度母数を持つガウス直交行列分布を表す．

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GaussianOrthogonalMatrixDistribution

GaussianOrthogonalMatrixDistribution[σ,n]

行列次元 {n,n}，尺度母数 σ のガウス(Gauss)直交行列分布を表す．

GaussianOrthogonalMatrixDistribution[n]

単位尺度母数を持つガウス直交行列分布を表す．

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予備知識

例題

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例  (4)

GOEから擬似ランダム行列を生成する：

Wolfram Language code: RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[3]]

これが対称行列であることをチェックする：

Wolfram Language code: SymmetricMatrixQ[%]

GaussianOrthogonalMatrixDistributionから引かれた行列の項は，ガウス分布を併用し，非相関で，対角から外れる項は対角上の項の半分の分散を持つ：

Wolfram Language code: sample = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[{Indexed[x, {1, 1}], Indexed[x, {2, 2}], Indexed[x, {1, 2}]}, xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]], 10 ^ 4];
Wolfram Language code: DistributionFitTest[sample, MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, DiagonalMatrix[{1, 1, 1 / 2}]], "TestConclusion"]

MatrixPropertyDistributionを使ってGOE行列の固有値をサンプルする：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[2000]]]//Histogram

平均と分散：

Wolfram Language code: Mean[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[1, 3]]//MatrixForm
Wolfram Language code: Variance[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[1, 3]]//MatrixForm

スコープ  (4)

単一の擬似ランダム行列を生成する：

Wolfram Language code: RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]]

擬似ランダム行列の集合を生成する：

Wolfram Language code: MatrixForm /@ RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2], 3]

統計特性を数値計算する：

Wolfram Language code: 𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Det[m], mGaussianOrthogonalMatrixDistribution[4]];

ランダム行列の行列式が0から離れた境界を持つ推定確率：

Wolfram Language code: NProbability[Abs[det] > 0.1, det𝒟]

分布母数推定：

Wolfram Language code: dist = GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2, 3];sample = RandomVariate[dist, 10 ^ 3];

サンプルデータから分布母数を推定する：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[sample, GaussianOrthogonalMatrixDistribution[σ, n]]

分布のLogLikelihoodを比較する：

Wolfram Language code: LogLikelihood[#, sample]& /@ {edist, dist}

アプリケーション  (3)

2x2GOE行列中の固有値間隔分布をサンプルする：

Wolfram Language code: dist = MatrixPropertyDistribution[{-1, 1}.MinMax[Eigenvalues[x]], xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]];
Wolfram Language code: gaps = Normalize[RandomVariate[dist, 10000], Mean];

ヒストグラムをDyson指数 についてのウィグナー(Wigner)推定としても知られる閉形式と比較する：

Wolfram Language code: WignerSurmisePDF[x_, β : 1] := Pi (x / 2) Exp[-Pi (x / 2) ^ 2]
Wolfram Language code: Show[Histogram[gaps, {0.1}, PDF], Plot[WignerSurmisePDF[x, 1], {x, 0, 3}]]

2x2GOE行列の固有値の結合分布をサンプルする：

Wolfram Language code: λ𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[𝓂], 𝓂GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]];

RandomSampleを使ってランダムに固有値を置換してアルゴリズム特有の順序を相殺する：

Wolfram Language code: evs = RandomSample /@ RandomVariate[λ𝒟, 10 ^ 5];

推定密度を可視化する：

Wolfram Language code: SmoothHistogram3D[evs]

推定密度を既知の閉形式の結果と比較する：

Wolfram Language code: LevelDistribution[n_Integer, β_] := ProbabilityDistribution[(1/(2π)^n / 2)(Underoverscript[∏, j, n](Gamma[1 + (β/2)]/Gamma[1 + (β j/2)]))(Underoverscript[∏, i = 1, n]Underoverscript[∏, j, i - 1]Abs[Subscript[λ, i] - Subscript[λ, j]]^β)Exp[-(1/2)Subsuperscript[∑, i = 1, n]Subscript[λ, i]^2], Array[{Subscript[λ, #], -∞, ∞}&, n, 1, Sequence]]

2x2GOE行列の場合について，密度を評価する：

Wolfram Language code: pdf = PDF[LevelDistribution[2, 1], {λ1, λ2}]

密度をサンプルからのヒストグラム密度推定と比較する：

Wolfram Language code: Show[Histogram3D[evs, {0.5}, PDF, ChartStyle -> Opacity[0.5], PlotRange -> All], Plot3D[pdf, {λ1, -4, 4}, {λ2, -4, 4}, PlotStyle -> None, MeshStyle -> Thick, PlotRange -> All]]

適合度検定と一致することを確かめる：

Wolfram Language code: DistributionFitTest[evs, LevelDistribution[2, 1]]

ランダムな対称行列を使って行列反転の複雑さを示す：

Wolfram Language code: inverseTiming[size_] := With[{mat = RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[size]]}, RepeatedTiming[Inverse[mat]][[1]]]
Wolfram Language code: data = Table[{n, inverseTiming[n]}, {n, {50, 100, 250, 500, 1000, 2000, 3000, 5000}}];
Wolfram Language code: ListLogLogPlot[data, Filling -> Axis]

特性と関係  (4)

（ はGaussianOrthogonalMatrixDistributionからのサンプル）に適用されたMatrixExpは対称かつユニタリである：

Wolfram Language code: MatrixExp[I RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[3]]]
Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[%] && SymmetricMatrixQ[%]

GOE行列の上三角部分の行列要素は独立ガウス確率変数である：

Wolfram Language code: upperElems[n_, symMat_] := Extract[symMat, Join[Table[{k, k}, {k, n}], Subsets[Range[n], {2}]]]

3×3ランダム両列から独立成分を抽出する：

Wolfram Language code: MatrixForm[m = RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[3]]]
Wolfram Language code: upperElems[3, m]

IndependenceTestを使って独立性を検証する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[upperElems[2, x], xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[2]], 10 ^ 4];
Wolfram Language code: Table[If[i == j, Histogram[data[[All, i]], Automatic, PDF], ListPlot[data[[All, {i, j}]], PlotLabel -> Row[{IndependenceTest[data[[All, i]], data[[All, j]]]}]]], {i, 3}, {j, 3}]//Grid[#, Dividers -> All]&

大きいGOE行列のスペクトル密度はWignerSemicircleDistributionに収束する：

Wolfram Language code: n = 300; eigvs = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[n]], 250];
Wolfram Language code: Show[Histogram[(Join@@eigvs) / Sqrt[2n], {0.025}, PDF], Plot[PDF[WignerSemicircleDistribution[1], x], {x, -1, 1}]]

大きいGOE行列のスケールされた最大固有値の分布はTracyWidomDistributionに収束する：

Wolfram Language code: n = 300; Subscript[λ, max] = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Max[Eigenvalues[x]], xGaussianOrthogonalMatrixDistribution[n]], 10 ^ 3];
Wolfram Language code: Show[Histogram[(Subscript[λ, max] - Sqrt[2 n])Sqrt[2] n^1 / 6, {0.3}, PDF], Plot[PDF[TracyWidomDistribution[1], x ], {x, -5, 3}, PlotStyle -> Thick]]
Wolfram Research (2015), GaussianOrthogonalMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html （2017年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2015), GaussianOrthogonalMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html （2017年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2015. "GaussianOrthogonalMatrixDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2017. https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2015). GaussianOrthogonalMatrixDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_gaussianorthogonalmatrixdistribution, author="Wolfram Research", title="{GaussianOrthogonalMatrixDistribution}", year="2017", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html}", note=[Accessed: 29-October-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_gaussianorthogonalmatrixdistribution, organization={Wolfram Research}, title={GaussianOrthogonalMatrixDistribution}, year={2017}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/GaussianOrthogonalMatrixDistribution.html}, note=[Accessed: 29-October-2026]}