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InverseFourierCosTransform

InverseFourierCosTransform[F[],,t]

変数 ω についてのF[ω]の記号逆フーリエ余弦変換を，変数 t についての f[t]として与える．

InverseFourierCosTransform[F[ω],ω,]

数値における数値逆フーリエ余弦変換を与える．

InverseFourierCosTransform[F[ω₁,…,ω_n],{ω₁,… ,ω_n},{t₁,…,t_n}]

F[ω₁,…,ω_n]の多次元逆フーリエ余弦変換を与える．

InverseFourierCosTransform

InverseFourierCosTransform[F[],,t]

変数 ω についてのF[ω]の記号逆フーリエ余弦変換を，変数 t についての f[t]として与える．

InverseFourierCosTransform[F[ω],ω,]

数値における数値逆フーリエ余弦変換を与える．

InverseFourierCosTransform[F[ω₁,…,ω_n],{ω₁,… ,ω_n},{t₁,…,t_n}]

F[ω₁,…,ω_n]の多次元逆フーリエ余弦変換を与える．

詳細とオプション

フーリエ(Fourier)余弦変換は，フーリエ変換を複素数や負の周波数を必要とせずに見る特別の方法である．
ジョセフ・フーリエ(Joseph Fourier)は，彼の有名な変換を，これとフーリエ正弦変換を使って設計した．これらの変換は，信号処理，統計，画像および動画の圧縮等に現在も使われている．
周波数領域関数の逆フーリエ余弦変換は，のときは時間領域関数である．

関数の逆フーリエ余弦変換は，デフォルトではで定義される．
関数の多次元逆フーリエ余弦変換は，デフォルトで，，ベクトル表記を使っている場合は $(2/pi)^(n/2)int_(omega in TemplateBox[{}, PositiveReals]^n)F(omega) cos(omega t)domega$ と定義される．
異なった定義の選択は，オプションFourierParametersで指定できる．
積分は，第3引数のが数値で与えられた場合は，数値メソッドを使って計算される．
漸近逆フーリエ余弦変換はAsymptoticを使って計算できる．
いくつかの関連するフーリエ変換がある．

	FourierTransform	無限連続時間関数(FT)
	FourierSequenceTransform	無限離散時間関数(DTFT)
	FourierCoefficient	有限連続時間関数(FS)
	Fourier	有限離散時間関数(DFT)

逆フーリエ余弦変換は，導関数が急速に減少する関数のSchwartzベクトル空間では自己同形であり，その双対において自己同形に誘導される．緩増加空間．これには，絶対可積分関数，多項式の増加の性質の好ましい関数，コンパクトにサポートされた分布が含まれる．
したがって，InverseFourierCosTransformはで絶対可積分関数に使えるだけでなく，効果的に変換できる関数または一般化された関数のプールを拡大するために，DiracDeltaのようなさまざまな緩増加分布にも使うことができる．
積分の下界は事実上であるとみなされるので，ディラック(Dirac)のデルタ関数の逆フーリエ余弦変換はに等しい． »
次は，使用可能なオプションである．

AccuracyGoal	Automatic	絶対確度の目標桁数
Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
FourierParameters	{0,1}	逆フーリエ余弦変換を定義するパラメータ
GenerateConditions	False	パラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	最適化するパフォーマンスの局面
PrecisionGoal	Automatic	目標精度の桁数
WorkingPrecision	Automatic	内部計算精度

次はFourierParametersのよくある設定である．
{0,1}

{1,1}

{-1,1}

{0,2Pi}

{a,b}

例題

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例 (6)

関数の逆フーリエ余弦変換を計算する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[UnitBox[ω - 1 / 2], ω, t]

関数とその逆余弦変換をプロットする：

Wolfram Language code: {Plot[UnitBox[ω - 1 / 2], {ω, 0, 2}, Exclusions -> None], Plot[%, {t, 0, 10}]}

逆数平方根の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1 / Sqrt[ω], ω, t]

異なる規約についてはパラメータを変える：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1 / Sqrt[ω], ω, t, FourierParameters -> {1, -2π}]

ガウシアンの逆フーリエ余弦変換は別のガウシアンである：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[E ^ (-ω ^ 2), ω, t]

両方のガウシアンをプロットする：

Wolfram Language code: {Plot[E ^ (-ω ^ 2), {ω, 0, 3}, PlotRange -> Full], Plot[%, {t, 0, 5}, PlotRange -> Full]}

多変量関数の逆フーリエ余弦変換を計算する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1 / Sqrt[u ^ 2 + v ^ 2], {u, v}, {x, y}]

結果をプロットする：

Wolfram Language code: Plot3D[%, {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, PlotRange -> {0, 10}, Mesh -> None]

単一の点での逆変換を計算する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω ^ 2] Sin[ω], ω, 0.3]

スコープ (43)

基本的な用法 (3)

記号パラメータについての関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideTheta[ω], ω, t]

三角関数を含む逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Sin[ω] / (ω E ^ ω), ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Cos[α ω ^ 2], ω, t, Assumptions -> α > 0]

についての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. α -> 1 / 4, {t, 0, 4}]

パラメータの数値についてフーリエ逆余弦変換を評価する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω] / Sqrt[ω], ω, 1.3]

代数関数 (4)

ベキ乗関数のフーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω ^ (n - 1), ω, t, Assumptions -> 0 < n < 1]

整数についての結果はDiracDeltaの導関数である：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω ^ 2, ω, t]

有理関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1 / (1 + ω ^ 2), ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω / (1 + ω ^ 2), ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

2つの非線形多項式の商の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[(1 - ω ^ 2) / (ω ^ 2 + 1) ^ 2, ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

二次多項式と四次多項式の商のフーリエ逆余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω ^ 2 / (ω ^ 4 + 1), ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

指数関数と対数関数 (4)

指数関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-α ω], ω, t, Assumptions -> Re[α] > 0]

についの変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

ガウシアンの逆フーリエ余弦変換はガウシアンそれ自体である：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω ^ 2 / 2] , ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

指数関数と三角関数の積の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[α ω] Sin[ β ω], ω, t, Assumptions -> {α < 0, β > 0}]

およびについての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. {α -> -3 / 4, β -> 1 / 4}, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω ^ 2] Sin[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

対数関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Log[ω]UnitBox[ω - 1 / 2], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Log[ω] / Sqrt[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Log[1 + ω] / ω, ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Log[1 + 9 / ω ^ 2], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

三角関数 (5)

三角関数を含む式：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Sin[2ω] ^ 2 / ω ^ 2, ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

初等関数の構成：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Cos[α ω ^ 2], ω, t, Assumptions -> α > 0]

についての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. α -> 3 / 4, {t, 0, 10}]

正弦と指数関数と線形関数の積の比：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[(Sin[ω]/ω Exp[ω]), ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

逆正接関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ArcTan[2 / ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ArcTan[ω] / ω, ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

Sechの逆フーリエ余弦変換は別のSechである：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Sech[3 ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 5}]

特殊関数 (9)

Sinc関数：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Sinc[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}, Exclusions -> None]

ExpIntegralEiを含む式の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ExpIntegralEi[-ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω ExpIntegralEi[-ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Erfcを含む式：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω Erfc[α ω], ω, t, Assumptions -> α > 0]

についての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. α -> 3, {t, 0, 10}]

SinIntegralを含む式：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[SinIntegral[ω] - π / 2, ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

CosIntegral：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[CosIntegral[α ω], ω, t, Assumptions -> {α > 0, t > α}]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

BesselJ関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[0, α ω], ω, t, Assumptions -> {α > 0, 0 < t < α}]

についての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. α -> 2, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[2 n, α ω], ω, t, Assumptions -> {α > 0, 0 < t < α}]

およびについての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. {α -> 2, n -> 2}, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[n, α ω] / ω ^ n, ω, t, Assumptions -> {α > 0, 0 < t < α, n∈PositiveIntegers}]

およびについての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. {α -> 2, n -> 2}, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[0, Sqrt[ω]], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

BesselY関数の余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselY[0, α ω], ω, t, Assumptions -> {α > 0, t > α}]

についての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. α -> 2, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselY[n, α ω] ω ^ n, ω, t, Assumptions -> {α > 0, t > α, Abs[Re[n]] < 1 / 2}]

およびについての変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[% /. {α -> 2, n -> 1 / 3}, {t, 0, 4}]

BesselK関数の余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselK[0, ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

超幾何関数の逆余弦変換はBesselK関数である：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Hypergeometric2F1[1, 2, 1 / 2, -ω ^ 2], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 10}]

区分関数と分布 (4)

区分関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code:

f[ω_] = Piecewise[{{ω, 0 ≤ ω ≤ 1}, {0, ω > 1}}, Exclusions -> None];
Plot[f[ω], {ω, 0, 1.5}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[f[ω], ω, t]

正弦関数を半周期に制限する：

Wolfram Language code: Plot[Sin[α ω]UnitBox[α ω / π - 1 / 2] /. α -> 3π / 2, {ω, 0, 1}]

Wolfram Language code: Simplify[InverseFourierCosTransform[Sin[α ω]UnitBox[α ω / π - 1 / 2], ω, t], α > π]

三角関数：

Wolfram Language code:

f[ω_] = Piecewise[{{ω, 0 ≤ ω ≤ 1}, {2 - ω, 1 < ω ≤ 2}, {0, 2 < ω }}]; 
Plot[f[ω], {ω, 0, 3}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[f[ω], ω, t]

FresnelCについての変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[UnitStep[ω - 1] / Sqrt[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[(1 - UnitStep[ω - 1]) / Sqrt[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

周期関数 (2)

余弦の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Cos[ω], ω, t]

SquareWaveの逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: Plot[SquareWave[ω + 1 / 4], {ω, 0, 4}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[SquareWave[ω + 1 / 4], ω, t]

一般化された関数 (4)

HeavisideThetaを含む式の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: Plot[HeavisideTheta[ω - 1], {ω, 0, 2}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideTheta[ω - 1], ω, t]

Wolfram Language code: Plot[ω HeavisideTheta[ω] HeavisideTheta[1 - ω], {ω, 0, 1.5}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[ω HeavisideTheta[ω] HeavisideTheta[1 - ω], ω, t]

Wolfram Language code: Plot[HeavisideTheta[ω - 1] / ω ^ 2, {ω, 0, 5}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideTheta[ω - 1] / ω ^ 2, ω, t]

DiracDeltaを含む逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[DiracDelta[ω], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[DiracDelta[ω - 1], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[DiracDelta'[ω - 1], ω, t]

変換をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 4}]

HeavisideLambdaを含む逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: Plot[HeavisideLambda[ω - 1], {ω, 0, 4}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideLambda[ω - 1], ω, t]

HeavisidePiを含む逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: Plot[HeavisidePi[ω - (3/2)], {ω, 0, 3}, Exclusions -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisidePi[ω - (3/2)], ω, t]

多変量関数 (3)

二変数有理関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1 / ((1 + u ^ 2) (1 + v ^ 2)), {u, v}, {x, y}]

両方のプロット：

Wolfram Language code:

{Plot3D[1 / ((1 + u ^ 2) (1 + v ^ 2)), {u, 0, 5}, {v, 0, 5}, Mesh -> None], Plot3D[%, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, Mesh -> None]}

二変数の指数関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-u ^ 2 - v ^ 2], {u, v}, {x, y}]

両方のプロット：

Wolfram Language code: {Plot3D[Exp[-u ^ 2 - v ^ 2], {u, 0, 5}, {v, 0, 5}, Mesh -> None], Plot3D[%, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, Mesh -> None]}

指数関数とSquareWaveの積の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: Plot3D[E ^ (-u)SquareWave[v + 1 / 4], {u, 0, 5}, {v, 0, 5}, Mesh -> None]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[E ^ (-u)SquareWave[v + 1 / 4], {u, v}, {x, y}]

形式的な特性 (3)

一次導関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[F'[ω], ω, t]

二次導関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[F''[ω], ω, t]

逆フーリエ余弦変換は方程式に縫い込まれる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[F'[ω] == 1 / (ω ^ 2 + 1), ω, t]

数値評価 (2)

逆フーリエ余弦変換を単一の点で計算する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[(1/Sqrt[ω]), ω, .9]

フーリエ余弦変換を記号的に計算することもできる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[(1/Sqrt[ω]), ω, t]

次にの特定の値について評価する：

Wolfram Language code: N[% /. t -> .9]

オプション (8)

AccuracyGoal (1)

オプションAccuracyGoalは，確度の桁数を設定する：

Wolfram Language code: exact = InverseFourierCosTransform[HeavisideLambda[ω - 1], ω, 9 / 10]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideLambda[ω - 1], ω, .9, AccuracyGoal -> 5] - exact

デフォルト設定だと以下のようになる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[HeavisideLambda[ω - 1], ω, .9] - exact

Assumptions (1)

Assumptionsを使って，パラメータの関心領域を示す：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[0, ω], ω, t, Assumptions -> t > 1]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[BesselJ[0, ω], ω, t, Assumptions -> t < 1]

FourierParameters (3)

さまざまなパラメータを持つ単位ボックス関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code:

params = {{0, 1}, {1, 1}, {-1, 1}, {0, 2 π}};
funs = funs = Table[InverseFourierCosTransform[UnitBox[ω - (1/2)], ω, t, FourierParameters -> p], {p, params}]

きれいにフォーマットされた結果の表を作成する：

Wolfram Language code:

header = { "Parameters", HoldForm@InverseFourierCosTransform[UnitBox[ω - (1/2)], ω, t]};
Grid[Prepend[Transpose[{params, funs}], header], IconizedObject[«Grid options»]]//TraditionalForm

変換の別の定義のためにデフォルト以外の設定値を使う：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω], ω, t, FourierParameters -> {1, 1}]

もとの関数を再び入手するために，同じFourierParameters設定を使う：

Wolfram Language code: FourierCosTransform[%, t, ω, FourierParameters -> {1, 1}]

セッションごとにパラメータについて自分の特定の大域選択を設定する：

Wolfram Language code: SetOptions[InverseFourierCosTransform, FourierParameters -> {0, 2π}]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1, ω, t]//TraditionalForm

デフォルトに戻す：

Wolfram Language code: SetOptions[InverseFourierCosTransform, FourierParameters -> {0, 1}]

GenerateConditions (1)

GenerateConditions->Trueを使って結果が有効になるパラメータ条件を得る：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[α ω], ω, t, GenerateConditions -> True]

PrecisionGoal (1)

オプションPrecisionGoalは，積分における相対的な許容範囲を設定する：

Wolfram Language code: exact = InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, 1 / 2]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, .5, PrecisionGoal -> 10] - exact

デフォルト設定では以下のようになる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, .5] - exact

WorkingPrecision (1)

WorkingPrecisionが指定されていると，計算はその作業精度で行われる：

Wolfram Language code: exact = InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, 1 / 2]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, .5, WorkingPrecision -> 18] - exact

デフォルト設定では以下のようになる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[8 / (ω ^ 2 + 1), ω, .5] - exact

アプリケーション (4)

常微分方程式 (1)

初期条件がの次の常微分方程式について考える：

Wolfram Language code: OdEqn = y''[t] + Ω^2y[t] == Cos[t];

この常微分方程式にフーリエ余弦変換を適用する：

Wolfram Language code: FourierCosTransform[OdEqn, t, ω]

のフーリエ余弦変換を解く：

Wolfram Language code: SolveValues[%, FourierCosTransform[y[t], t, ω]][[1]] /. y'[0] -> 1

とで逆フーリエ余弦変換を求める：

Wolfram Language code: icf[t_] = InverseFourierCosTransform[%, ω, t] /. {κ -> 1, Ω -> 1 / 2}//TrigToExp

DSolveValueと比較する：

Wolfram Language code: DSolveValue[{OdEqn /. {κ -> 1, Ω -> 1 / 2}, y'[0] == 1, y[0] == icf[0]}, y[t], t]//TrigToExp

偏微分方程式 (1)

でのとき，熱伝導方程式を解く．，初期条件，ただし，，ノイマン(Neumann)境界条件はのときである：

Wolfram Language code: eqn = D[u[x, t], t] == α ^ 2 D[u[x, t], x, x];

についての常微分方程式にフーリエ余弦変換を適用する：

Wolfram Language code: FourierCosTransform[eqn, x, ω]

でとして，この常微分方程式を解く：

Wolfram Language code:

DSolveValue[{D[u1[ω, t], t] == α^2 (-ω^2u1[ω, t] - Sqrt[(2/π)] u^(1, 0)[0, t]), u1[ω, 0] == FourierCosTransform[f[x], x, ω][ω]}, u1[ω, t], t] /. {u^(1, 0)[0, K[1]] -> g[K[1]]}//Expand

指数関数の逆余弦変換を計算する：

Wolfram Language code:

h[x_] = InverseFourierCosTransform[Sqrt[(2/π)]E^-t α^2 ω^2, ω, x];
l[x] = InverseFourierCosTransform[-Sqrt[(2/π)]α^2E^(K[1] - t) α^2 ω^2 , ω, x];

たたみ込み特性は，最初の加数の逆フーリエ余弦変換を行って解を得る：

Wolfram Language code: 1 / 2Integrate[f[τ](h[x + τ] + h[x - τ]), {τ, 0, ∞}] + Integrate[l[x]g[K[1]], {K[1], 0, t}]

，．で特殊ケースについて考える：

Wolfram Language code: % /. {f -> Function[u, UnitBox[u - 1 / 2]], g -> Function[u, 0], α -> 1}

DSolveValueと比較する：

Wolfram Language code:

DSolveValue[{eqn /. α -> 1, {u[x, 0] == UnitBox[x - 1 / 2], Derivative[1, 0][u][0, t] == 0}}, u[x, t], {x, t}, Assumptions -> {t > 0  && x > 0}]

のさまざまな値について，初期条件と解をプロットする：

Wolfram Language code:

Plot[{UnitBox[x - 1 / 2], Evaluate@Table[%, {t, {.005, .1, .3, .8}}]}, {x, 0, 4}, PlotLegends -> {UnitBox[x - 1 / 2], .005, .1, .3, .8}, Exclusions -> None]

積分の評価 (2)

次の定積分を計算する：

Wolfram Language code: Inactive[Integrate][(1/(ω ^ 2 + 9)(ω ^ 2 + 4)), {ω, 0, ∞}]

逆フーリエ余弦変換は，上で積の積分を保持する：

Wolfram Language code:

Inactive[Integrate][InverseFourierCosTransform[(1/(ω ^ 2 + 9)), ω, t]InverseFourierCosTransform[1 / (ω ^ 2 + 4), ω, t], {t, 0, ∞}]

定積分を解く：

Wolfram Language code: Activate[%]

Integrateと比較する：

Wolfram Language code: Integrate[(1/(ω ^ 2 + 9)(ω ^ 2 + 4)), {ω, 0, ∞}]

について次の定積分を計算する：

Wolfram Language code: Inactive[Integrate][(1/(α ^ 2 + ω ^ 2) ^ 2), {ω, 0, ∞}]

被積分関数の平方根の逆フーリエ余弦変換を計算する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[( 1/α^2 + ω^2), ω, x, Assumptions -> α > 0]

Parsevalの恒等式を適用する：

Wolfram Language code:

Inactive[Integrate][Abs[E^-α x] ^ 2, {x, -∞, ∞}] == Inactive[Integrate][Abs[(Sqrt[(2/π)] α/α^2 + ω^2)] ^ 2, {ω, -∞, ∞}]

同様に，次のようにもできる：

Wolfram Language code:

Integrate[E^-2α x, {x, 0, ∞}, Assumptions -> α > 0] == HoldForm[(2α ^ 2/π)]Inactive[Integrate][( 1/(α^2 + ω^2) ^ 2), {ω, 0, ∞}]

定積分を解く：

Wolfram Language code: SolveValues[ReleaseHold[%], Inactive[Integrate][( 1/(α^2 + ω^2) ^ 2), {ω, 0, ∞}]][[1]]

Integrateと比較する：

Wolfram Language code: Integrate[( 1/(α^2 + ω^2) ^ 2), {ω, 0, ∞}, Assumptions -> α > 0]

特性と関係 (4)

デフォルトで，の逆フーリエ余弦変換は以下のようになる：

Wolfram Language code:

HoldForm[InverseFourierCosTransform[F[ω], ω, t] = HoldForm[Sqrt[2 / π]] * Integrate[F[ω]Cos[ω t], {ω, 0, ∞}]]//TraditionalForm

のとき，定積分は以下のようになる：

Wolfram Language code: Sqrt[2 / π]Integrate[Exp[-ω ^ 2]Cos[ω]Cos[ω t], {ω, 0, ∞}]//FullSimplify

InverseFourierCosTransformと比較する：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Exp[-ω ^ 2]Cos[ω], ω, t]//TrigToExp//Simplify

Asymptoticを使って漸近近似を計算する：

Wolfram Language code: Asymptotic[Inactive[InverseFourierCosTransform][ E ^ (-ω ^ 3), ω, t], t -> 0]

FourierCosTransformとInverseFourierCosTransformは互いに逆関数である：

Wolfram Language code: FourierCosTransform[InverseFourierCosTransform[F[ω], ω, t], t, ω]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[FourierCosTransform[g[t], t, ω], ω, t]

Wolfram Language code: FourierCosTransform[1 / (ω ^ 2 + 1), ω, t]

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[%, t, ω]

偶関数では，結果がInverseFourierTransformと等しくなる：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[Sin[ω] / ω, ω, t]

Wolfram Language code: InverseFourierTransform[Sin[ω] / ω, ω, t ]

結果はについて一致する：

Wolfram Language code: Simplify[% - %%, t > 0]

考えられる問題 (1)

フーリエ余弦変換の結果はもととは同じ形式ではないかもしれない：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[UnitStep[1 + ω] UnitStep[1 - ω], ω, t]

Wolfram Language code: FourierCosTransform[%, t, ω]

逆フーリエ余弦変換にはDiracDelta等の一般化された関数が必要なことがある：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[1, ω, t]

Wolfram Language code: FourierCosTransform[%, t, ω]

おもしろい例題 (2)

Meijer関数の逆フーリエ余弦変換：

Wolfram Language code: InverseFourierCosTransform[t / (t ^ 3 + 1), t, ω]

基本的な逆フーリエ余弦変換の表を作る：

Wolfram Language code:

flist = {ω ^ n, E ^ (-a ω), Exp[-ω ^ 2], Sinc[ω], DiracDelta[ω - a], Log[ω], UnitStep[ω], UnitBox[ω], ω Erfc[a ω], ConditionalExpression[BesselJ[2, ω], 0 < t < 1], ConditionalExpression[BesselY[0, a ω], t > a]};

Wolfram Language code:

Grid[Prepend[{#, Assuming[{a > 0}, Assuming[{a > 0}, Simplify[InverseFourierCosTransform[#1, ω, t]]]]}& /@ flist, {f[t], InverseFourierCosTransform[f[ω], ω, t]}], IconizedObject[«Grid options»]]//TraditionalForm

Top

	{0,1}
	{1,1}
	{-1,1}
	{0,2Pi}
	{a,b}

InverseFourierCosTransform

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