MellinTransform

MellinTransform[expr,x,s]

expr のメリン(Mellin)変換を与える．

MellinTransform[expr,{x₁,x₂,…},{s₁,s₂,…}]

expr の多次元メリン変換を与える．

詳細とオプション

関数のメリン変換はで定義される．
関数の多次元メリン変換はで与えられる．
のメリン変換はであるの複素数値についてのみ存在する．この定義が半平面に拡張されることがある．

使用可能なオプション

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
GenerateConditions	False	パラメータについての条件を含む結果を生成するかどうか
Method	Automatic	使用するメソッド

TraditionalFormでは，MellinTransformはを使って出力される．

例題

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例 (2)

関数のメリン変換を計算する：

多変量メリン変換を計算する：

スコープ (16)

基本的な用法 (3)

記号パラメータ s について関数のメリン変換を計算する：

パラメータに厳密値を使う：

パラメータに非厳密値を使う：

メリン変換の有効性についての条件を得る：

結果は半平面上で有効である：

TraditionalFormによる表示：

初等関数 (3)

指数関数：

ガウス関数：

一般的な指数関数：

対数関数と指数関数の組み合せ：

有理関数：

多項式のメリン変換はDiracDeltaによって与えられる：

特殊関数 (3)

BesselJのMellinTransform：

BesselK：

ベッセル(Bessel)関数の積：

指数積分関数ExpIntegralE：

ExpIntegralEi：

誤差関数ErfのMellinTransform：

相補誤差関数Erfc：

区分関数 (3)

UnitStepのMellinTransform：

UnitBox：

UnitTriangle：

UnitStepと関数の積：

Piecewise関数のMellinTransform：

一般化された関数 (2)

HeavisideThetaを含む関数のMellinTransform：

DiracDelta：

多変量関数 (2)

多変量有理関数：

多変量指数関数：

オプション (5)

Assumptions (1)

パラメータ a に依存する関数のメリン変換を比較する：

パラメータについての仮定を指定することでより簡単な結果を得る：

GenerateConditions (1)

MellinTransformが与える結果の有効性についての条件を得る：

GenerateConditionsは，この場合はデフォルトでFalseに設定されている：

Method (3)

デフォルトメソッドでメリン変換を計算する：

この例では表の検索が使われている：

MeijerGに変換することでこの例の評価を試みても失敗する：

Integrateを通してMellinTransformの定義を使ってこの例を評価する：

この例のデフォルトメソッドではMeijerGへの変換が使われる：

こちらの方が，Integrateを通してMellinTransformの定義を使うよりも速い：

次では入力が数値的なので記号メソッドは失敗する：

この例はNIntegrateに基づいた数値メソッドで評価される：

アプリケーション (3)

MellinTransformを使って $int_0^infty(TemplateBox[{0, t}, BesselJ] TemplateBox[{1, {x, /, t}}, BesselJ])/tdt$ を評価する．これは，次の関数のメリン変換とみなすことができる：

MellinTransformを各関数に適用する：

逆メリン変換を行って必要な積分を得る：

Integrateを使って直接積分を計算する：

MellinConvolveを使って同じ結果を得る：

MellinTransformを使ってベッセル方程式の一般解を求める：

MellinTransformを方程式に適用する：

RSolveValueを使って再帰方程式を解く：

InverseMellinTransformを使って必要な一般解を求める：

DSolveValueを使って解を確かめる：

無限級数で定義される関数の漸近展開の最初の2項をMellinTransformを使って求める：

のメリン変換を計算する：

およびにおける剰余を計算して必要な漸近展開を求める：

特性と関係 (11)

Asymptoticを使って漸近近似を計算する：

MellinTransformは積分を計算する：

Integrateを使って同じ結果を得る：

MellinTransformとInverseMellinTransformは互いに逆関数である：

特定の関数についてこの関係を確認する：

MellinTransformは線形演算子である：

のメリン変換は $(-1)^n TemplateBox[{s, n}, Pochhammer] TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, s}, MellinTransform1]$ で与えられる：

のメリン変換は，a の正の値について $TemplateBox[{{f, (, {a, , x}, )}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, s}, MellinTransform1])/(a^s)$ で与えられる：

のメリン変換は，a の実数値について $TemplateBox[{{f, (, {x, ^, a}, )}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, /, a}}, MellinTransform1])/(TemplateBox[{a}, Abs])$ で与えられる：

のメリン変換は $TemplateBox[{{{int, _, 0, ^, x}, {{f, (, t, )}, {d, t}}}, x, s}, MellinTransform1]=-(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, +, 1}}, MellinTransform1])/s$ で与えられる：

のメリン変換は $TemplateBox[{{{int, _, x, ^, infty}, {{f, (, t, )}, {d, t}}}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, +, 1}}, MellinTransform1])/s$ で与えられる：

メリンたたみ込みのメリン変換は個々のメリン変換の積である：

特定の関数ペアについてこの関係を確かめる：

MellinTransformは $sqrt(2 pi) (F_x[f(ⅇ^x)](s))=TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {ⅈ, , s}}, MellinTransform1]$ によってFourierTransformと関係がある：

考えられる問題 (1)

異なる式が同じMellinTransformを持つことがある：

これらの例の変換は収束領域が異なる：

収束領域が与えられると，逆変換が入力を返す：

おもしろい例題 (1)

基本的なメリン変換を表にまとめる：

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