MellinTransform

MellinTransform[expr,x,s]

给出 expr 的 Mellin 变换.

MellinTransform[expr,{x₁,x₂,…},{s₁,s₂,…}]

给出 expr 的多维度 Mellin 变换.

范例

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基本范例 (2)

计算函数的 Mellin 变换：

计算多变量 Mellin 变换：

范围 (16)

基本用途 (3)

计算函数关于符号参数 s 的 Mellin 变换：

使用参数的精确值：

使用参数的非精确值：

获取 Mellin 变换的有效条件：

结果在半平面上有效：

TraditionalForm 格式：

基本函数 (3)

指数函数：

Gaussian 函数：

一般指数函数：

对数和指数函数的组合：

有理函数：

以 DiracDelta 的形式给出多项式的 Mellin 变换：

特殊函数 (3)

BesselJ 的 MellinTransform：

BesselK:

Bessel 函数的积：

指数积分函数 ExpIntegralE：

ExpIntegralEi:

误差函数 Erf 的 MellinTransform：

补余误差函数 Erfc：

分段函数 (3)

UnitStep 的 MellinTransform：

UnitBox:

UnitTriangle:

含有 UnitStep 函数的积：

Piecewise 函数的 MellinTransform：

广义函数 (2)

涉及 HeavisideTheta 的函数的 MellinTransform:

DiracDelta:

多变量函数 (2)

多变量有理函数：

多变量指数函数：

选项 (5)

Assumptions (1)

计算取决于参数 a 的函数的 Mellin 变换：

通过指定参数的假设获得更简单的结果：

GenerateConditions (1)

获取由 MellinTransform 给出的结果的有效条件：

缺省情况下，这里将 GenerateConditions 设为 False：

Method (3)

用默认方法计算 Mellin 变换：

用查表的方法得到结果：

通过转换成 MeijerG 来计算此例的尝试失败了：

用 MellinTransform 的 Integrate 定义来计算：

缺省方法是通过转换成 MeijerG 来计算：

比用 MellinTransform 的 Integrate 定义来计算要快：

由于输入是纯数字的，符号方法无效：

用基于 NIntegrate 的数值法来计算：

应用 (3)

用 MellinTransform 来计算 $int_0^infty(TemplateBox[{0, t}, BesselJ] TemplateBox[{1, {x, /, t}}, BesselJ])/tdt$ ，它可以被视为下列函数的 Mellin 卷积：

对每个函数应用 MellinTransform：

通过逆 Mellin 变换得出要计算的积分：

直接用 Integrate 来计算积分：

用 MellinConvolve 得出同样的结果：

用 MellinTransform 求 Bessel 方程的通解：

对方程进行 MellinTransform：

用 RSolveValue 求解递归方程：

用 InverseMellinTransform 求得通解：

用 DSolveValue 验证结果：

用 MellinTransform 求由无穷级数定义的函数的渐近展开式的前两项：

计算的 Mellin 变换：

计算和处的留数来得出渐近展开式：

属性和关系 (11)

用 Asymptotic 计算渐近逼近：

MellinTransform 计算积分：

用 Integrate 得到同样结果：

MellinTransform 和 InverseMellinTransform 互逆：

验证特定函数的关系：

MellinTransform 是线性算子：

的 Mellin 变换由 $(-1)^n TemplateBox[{s, n}, Pochhammer] TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, s}, MellinTransform1]$ 给出：

如果 a 为正数，的 Mellin 变换由 $TemplateBox[{{f, (, {a, , x}, )}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, s}, MellinTransform1])/(a^s)$ 给出：

对于实数 a，f 的 Mellin 变换由 $TemplateBox[{{f, (, {x, ^, a}, )}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, /, a}}, MellinTransform1])/(TemplateBox[{a}, Abs])$ 给出：

的 Mellin 变换由 $TemplateBox[{{{int, _, 0, ^, x}, {{f, (, t, )}, {d, t}}}, x, s}, MellinTransform1]=-(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, +, 1}}, MellinTransform1])/s$ 给出：

的 Mellin 变换由 $TemplateBox[{{{int, _, x, ^, infty}, {{f, (, t, )}, {d, t}}}, x, s}, MellinTransform1]=(TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {s, +, 1}}, MellinTransform1])/s$ 给出：

Mellin 卷积的 Mellin 变换是单个 Mellin 变换的积：

用一对特定函数验证上述关系：

MellinTransform 和 FourierTransform 之间的关系为 $sqrt(2 pi) (F_x[f(ⅇ^x)](s))=TemplateBox[{{f, (, x, )}, x, {ⅈ, , s}}, MellinTransform1]$ ：

可能存在的问题 (1)

不同表达式的 MellinTransform 可能一样：

这些例子中的变换的收敛域不同：

给定收敛域，逆变换给出之前的输入：

巧妙范例 (1)

制作基本 Mellin 变换表：

顶部

Assumptions	$Assumptions	参数的设定
GenerateConditions	False	是否生成涉及参数条件的的结果
Method	Automatic	使用的方法