NArgMin

NArgMin[f,x]

f が数値的に最小になる位置 x_minを与える．

NArgMin[f,{x,y,…}]

f が数値的に最小になる位置{x_min,y_min,…}を与える．

NArgMin[{f,cons},{x,y,…}]

f が制約条件 cons に従って数値的に最小になる位置を与える．

NArgMin[…,x∈reg]

x が領域 reg 内にあるように制限する．

詳細とオプション

NArgMinは大域的最適化(GO)としても知られている．
NArgMinは，与えられた制約条件に従って常に f の最小値を求めようとする．
NArgMinは，通常，制約が与えられた場合に可能な最小値を求めるために使われる．分野によっては，最適な戦略，最良適合，最適な構成等と呼ばれることがある．
NArgMinは{x_min,y_min,…}の形のリストを返す．

NArgMin[…,{x,y,…}]は事実上{x,y,…}/.Last[NMinimize[…,{x,y,…},…]に等しい．
f と cons が線形または凸のとき，NArgMinが与える結果は実数および整数値の両方の上で最小値になる．それ以外の場合の結果は単に極小値であるかもしれない．
NArgMinが制約条件を満足できないと判断した場合は{Indeterminate,…}が返される．
NArgMinは，目的関数 f と制約条件 cons がスカラー変数またはベクトル変数に依存する式で与えられるモデリング言語をサポートする．f と cons は，一般に，非常に効率的な形に解析されるが，f と cons の項が変数の数値に対して数値を与える限りNArgMinはしばしば解を求めることができる．
制約条件 cons は以下の論理結合でよい．

	lhs==rhs	等式
	lhs>rhs, lhs≥rhs, lhs<rhs, lhs≤rhs	不等式 (LessEqual, …)
	lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs	ベクトル不等式 (VectorLessEqual, …)
	{x,y,…}∈rdom	領域指定

NArgMin[{f,cons},x∈rdom]は，事実上，NArgMin[{f,cons&&x∈rdom},x]に等しい．
x∈rdom については，Indexed[x,i]を使って別の座標に言及することができる．
次は，使用可能な領域 rdom である．

	Reals	実数スカラー変数
	Integers	整数スカラー変数
	Vectors[n,dom]	のベクトル変数
	Matrices[{m,n},dom]	の行列変数
	ℛ	幾何領域に制限されたベクトル変数

デフォルトで，すべての変数が実数であるとみなされる．
次は，指定可能なオプションである．

AccuracyGoal	Automatic	目標となる最終確度桁数
EvaluationMonitor	None	f が評価されたときに常に評価される式
MaxIterations	Automatic	使用する最大反復回数
Method	Automatic	使用されるメソッド
PrecisionGoal	Automatic	目標となる最終精度桁数
StepMonitor	None	ステップを取るたびに常に評価される式
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部計算に使用する精度

AccuracyGoalとPrecisionGoalの設定で最小値の位置の値と最小になったときの関数の値の両方で目標とする桁数を指定する．
NArgMinは，AccuracyGoalとPrecisionGoalで指定された目標値のどちらかが達成されるまで計算を続ける．
NArgMinのためのメソッドには2つのクラスがある．最初のクラスは問題の特性を使うので，メソッドが収束する際に求まった最小値は大域的であることが保証される．2番目のクラスは発見的なメソッドで，複数の局所探索を使うことがあるが，一般的には確率論によって調整され，大域的最小値に焦点が当てられる．このメソッドもしばしば大域的な最小値を求めるが，必ずそうするとは保証されない．
次は，解に収束する場合に最小値を与えることが保証されているメソッドである．

	"Convex"	凸法だけを使う
	"MOSEK"	凸問題用の商用MOSEKライブラリを使う
	"Gurobi"	凸問題用の商用Gurobiライブラリを使う
	"Xpress"	凸問題用の商用Xpressライブラリを使う

次は，発見的手法である．

	"NelderMead"	Nelder・Meadのシンプレックス法
	"DifferentialEvolution"	差分進化を使う
	"SimulatedAnnealing"	焼きなまし法を使う
	"RandomSearch"	複数のランダムな初期点から始めて求まった最良の極小値を使う
	"Couenne"	非凸混合整数非線形問題にCouenneライブラリを使う

例題

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例 (4)

一変数関数が最小になる点を求める：

多変数関数が最小になる点を求める：

制約条件に従って関数が最小になる点を求める：

幾何学領域上で最小になる点を求める：

これをプロットする：

スコープ (40)

基本的な用法 (12)

制約条件に従っての値を最小にするの値を求める：

VectorGreaterEqualでいくつかの線形不等式制約を表すことができる：

v>= または\[VectorGreaterEqual]を使ってベクトル不等式の記号を入力する：

スカラー不等式を使った同等の形：

ベクトル変数を使う：

にスレッディングの可能性があるので，不等式はとは等しくないかもしれない：

での意図しないスレッディングを避けたければInactive[Plus]を使うとよい：

定数パラメータを持つ方程式を使ってでの意図しないスレッディングを回避する：

VectorGreaterEqualは"NonNegativeCone"についての錐不等式を表す：

円錐の次元を明示的に指定したければ，{"NonNegativeCone",n}を使うとよい：

最小化点を求める：

制約条件に従ってを最小にする点を求める：

"NormCone"で錐不等式を使って制約条件を指定する：

最小化点を求める：

制約条件に従って関数を最小にする点を求める：

Indexedを使ってベクトル変数の成分（例：）にアクセスする：

ベクトル変数の次元と領域が曖昧なときはVectors[n,dom]を使って指定する：

NonNegativeReals ()を使って非負の制約条件を指定する：

ベクトル不等式を使った同等の形：

NonPositiveReals ()を使って非正の制約条件を指定する：

ベクトル不等式を使った同等の形：

Orによる制約を指定することができる：

領域制約1 (4)

Integersを使って整数領域の制約を指定する：

Vectors[n,Integers]を使ってベクトル変数に整数領域の制約を指定する：

NonNegativeIntegers ()を使って非負の整数領域の制約を指定する：

NonPositiveIntegers ()を使って非正の整数領域の制約を指定する：

領域制約2 (5)

領域上でを最小にするの値を求める：

プロットする：

2つの領域間の距離を最小にする点とを求める：

プロットする：

三角形と楕円形が交差する最小のを求める：

プロットする：

指定された3点を含むような最小半径の円を求める：

プロットする：

Circumsphereを使うと同じ結果が直接得られる：

を使ってが内のベクトルであるように指定する．ただし，：

線形問題 (5)

線形の目的関数と制約条件がある場合は，最小値が見付かるとそれは大域的になる：

制約条件は等式制約および不等式制約である：

Equalを使っていくつかの等式制約を一度に表現する：

いくつかのスカラー等式を使った同等の形：

VectorLessEqualを使っていくつかのLessEqual不等式制約を一度に表現する：

v<= を使ってベクトル不等式をコンパクトな形で入力する：

スカラー不等式を使った同等の形：

Intervalを使って変数の境界を指定する：

凸問題 (7)

"NonNegativeCone"を使っての形の線形関数を指定する：

v>= を使ってベクトル不等式をコンパクトな形で入力する：

線形制約条件に従って凸二次関数を最小にする点を求める：

領域と最小化点をプロットする：

凸二次制約集合に従って凸二次関数を最小にする点を求める：

領域と最小化点をプロットする：

2つの凸領域間の距離を最短にする点とをプロットする：

プロットする：

が半正定値になるようにを最小にする：

ミニマイザを目的関数のプロット上に示す：

が半正定値でとなるように凸目的関数を最小にする点を求める：

領域と最小化点をプロットする：

4-ノルムの単位円板上で凸目的関数を最小にする点を求める：

領域と最小化点をプロットする：

凸に変換可能 (4)

面積1での長方形の外周を最小にする高さと重みの値を求める：

この問題は対数凸問題であり，変換{hExp[],wExp[ ]}を行い，対数を取って凸問題を得ることで解ける：

不等式制約とノルム制約に従って擬似凸関数を最大化する．目的関数は領域上の非負関数と非正関数の積なので，擬似凸関数である：

擬似凸問題はパラメータについてのパラメトリック凸最適化問題として解くことができる：

目的関数を等位集合の関数としてプロットする：

区間内の等位集合の値について，最小の目的関数が求まる：

等位集合の値が大きくなると，問題は実行不可能になる：

制約条件に従ってを最小化する．目的関数は凸ではないが凸関数の差として表すことができる．ただし，とは凸関数である：

領域と最小化点をプロットする：

制約条件に従ってを最小化する．制約条件は凸ではないが凸条件の差として表すことができる．ただし，は凸関数である：

領域と最小化点をプロットする：

一般的な問題 (3)

非線形制約条件に従って線形目的関数を最小にする：

プロットする：

非線形目的関数を線形制約条件に従って最小にする点を求める：

目的関数と最小化点をプロットする：

非線形目的関数を非線形制約条件に従って最小にする点を求める：

プロットする：

オプション (7)

AccuracyGoalとPrecisionGoal (2)

収束基準とを強制する：

次で，収束基準とを強制する．これはデフォルトの機械精度計算では達成できない：

WorkingPrecisionの設定値を高くするとプロセスが収束するようになる：

EvaluationMonitor (1)

関数の解を求める過程で評価したすべての点を最小値の環で記録する：

訪れた点の中で目的関数の値で最終的な解に近いすべての点をプロットする：

Method (2)

メソッドの中には特定の問題に対して準最適化結果を与えるものがある：

この問題の場合は，自動選択されたメソッドが最適な結果を与える：

この非凸問題に対して自動メソッド選択は"Couenne"を選ぶ：

目的関数を最小点とともにプロットする：

速度を求めたければ，たくさんの変数がある問題には"NelderMead"メソッドを使う：

StepMonitor (1)

NArgMinが古典的なRosenbrock関数の最小値を求めるのに取るステップ：

WorkingPrecision (1)

作業精度をにする．デフォルトでAccuracyGoalとPrecisionGoalはに設定されている：

アプリケーション (14)

幾何学の問題 (4)

半径1で中心がとの2つの異なる円板上にある最近点を求める．が円板1の上の点，が円板2の上の点であるとする．目的は，制約条件に従ってを最小にすることである：

2つの点の位置を可視化する：

与えられた領域を包み込む最小の球の半径と中心を求める：

制約条件に従って半径を最小にする：

包み込む球を可視化する：

包み込む最小の球はBoundingRegionを使って効率的に求めることができる：

3Dの点集合を包み込む，としてパラメータ化される楕円体の体積を最小にするとの値を求める：

各点について制約条件 $TemplateBox[{{{a, ., {p, _, i}}, +, b, }}, Norm]<=1, i=1,2,...,n$ が満たされなければならない：

体積を最小にすることはを最小にすることに等しい：

パラメータ化された楕円を明示的な形式に変換する：

境界楕円体の体積は，最小であるとは限らないが，BoundingRegionで求めることもできる：

指定された半径 ()で重なり合ない個の円を収めることができる最小の正方形を求める．円の数と各円の半径を指定する：

が円の中心なら，目的はを最小化することである．を最小にしてとするために目的を変形することができる：

円は重なってはならない：

変数を集める：

円は正方形の中に収まっている．境界ボックスと各円の中心を求める：

円と境界ボックスをプロットする：

正方形の円で覆われた部分の割合を計算する：

データフィッティング問題 (3)

与えられた行列 a とベクトル b について，制約条件に従ってを最小化する点を求める：

データの最初と最後の点が曲線上にあるようにして，三次曲線を離散データにフィットする：

DesignMatrixを使って行列を構築する：

最初と最後の点が曲線上になければならないという制約条件を定義する：

を最小にすることで係数を求める：

フィットとデータを比較する：

を最小にするの値を求めることで，外れ値にあまり敏感ではない非線形離散データのフィットを求める：

基底を使ってデータをフィットする．補間関数はである：

解を求める：

フィットを可視化する：

補間関数と参照関数を比較する：

分類問題 (3)

2つの点集合とを分離する直線を求める：

分離するためには，集合1はを，集合2はを満足しなければならない：

目的はを最小にすることだが，そうするととの間の厚みの2倍が与えられる：

分離線は以下のようになる：

3Dの2つの点集合とを分離する二次多項式を求める：

DesignMatrixを使って2つの集合のための二次多項式データ行列を構築する：

分離するためには，集合1はを，集合2はを満足しなければならない：

を最小にすることで分離多項式を求める：

2つの点集合を分離する多項式は以下である：

2つのデータ集合を分離する多項式をプロットする：

与えられた点集合を異なる集合に分割する．これは，を最小にすることで各集合の中心を求めることで行える．ただし，は与えられた局所カーネルでは与えられたペナルティパラメータである：

カーネルは，もしならば，それ以外ではの最近傍()関数である．この問題のために最近傍が選ばれた：

目的関数：

集合の中心を求める：

各データ点に対応する中心が存在する．同じ集合に属するデータは同じ中心を持つ：

グループ化された点を抽出してプロットする：

画像処理 (1)

全変動ノルムの下で最も近い画像を求めることで，破損した画像を回復する：

40%のデータ点をランダムに削除することで破損画像を作成する：

目的は $sum_(i=1)^(n-1)sum_(j=1)^(m-1)sqrt(TemplateBox[{{TemplateBox[{u, {i, +, 1}, j}, IndexedDefault], -, TemplateBox[{u, i, j}, IndexedDefault]}}, Abs]^2+TemplateBox[{{TemplateBox[{u, i, {j, +, 1}}, IndexedDefault], -, TemplateBox[{u, i, j}, IndexedDefault]}}, Abs]^2)$ を最小にすることである．ただし，は画像データである：