NArgMin

NArgMin[f,x]

给出一个坐标 x_min，使得 f 数值全局最小化.

NArgMin[f,{x,y,…}]

给出一个坐标 {x_min,y_min,…}，使得 f 数值全局最小化.

NArgMin[{f,cons},{x,y,…}]

给出一个坐标，使 f 在约束条件 cons 下数值全局最小化.

NArgMin[…,x∈reg]

把 x 限制在区域 reg 内.

更多信息和选项

NArgMin 亦称为全局优化 (GO).
NArgMin 总是尝试求给定约束条件限制下 f 的全局最小值.
NArgMin 通常用于求给定约束条件下可能的最小值. 在不同的领域，这可能被称为最佳策略、最佳方案、最佳配置等.
NArgMin 返回形如 {x_min,y_min,…} 的列表.

NArgMin[…,{x,y,…}] 实际上等价于 {x,y,…}/.Last[NMinimize[…,{x,y,…},…].
如果 f 和 cons 是线性的或凸的，NArgMin 给出的结果将是实数和整数值上的全局最小值；否则，有时结果可能只是局部最小值.
如果 NArgMin 发现无法满足约束条件，则会返回 {Indeterminate,…}.
NArgMin 支持一种建模语言，其中目标函数 f 和约束条件 cons 是用依赖于标量或向量变量的表达式给出的. f 和 cons 通常被解析为非常有效的形式，但只要 f 和 cons 中的项给出变量的数值结果，NArgMin 通常可以找到解.
约束条件 cons 可以是以下表达式的任意逻辑组合：

	lhs==rhs	等式
	lhs>rhs, lhs≥rhs, lhs<rhs, lhs≤rhs	不等式 (LessEqual、…)
	lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs	向量不等式 (VectorLessEqual、…)
	{x,y,…}∈rdom	区域或域的指定

NArgMin[{f,cons},x∈rdom] 实际上等价于 NArgMin[{f,cons&&x∈rdom},x].
对于 x∈rdom，可用 Indexed[x,i] 来指代不同的坐标.
可能的域 rdom 包括：

	Reals	实标量变量
	Integers	整数标量变量
	Vectors[n,dom]	中的向量变量
	Matrices[{m,n},dom]	中的矩阵变量
	ℛ	限制在几何区域中的向量变量

默认情况下，假定所有变量为实数.
可给出下列选项:

AccuracyGoal	Automatic	追求多少位的准确度
EvaluationMonitor	None	计算 f 时要计算的表达式
MaxIterations	Automatic	使用的最大迭代次数
Method	Automatic	使用的方法
PrecisionGoal	Automatic	追求多少位的精度
StepMonitor	None	每次迭代时要计算的表达式
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 的设置指定了搜索最小值所在位置（最小化点）和函数的最小值时应使用的位数.
NArgMin 会持续运行，直到 AccuracyGoal 或 PrecisionGoal 指定的目标实现为止.
NArgMin 的方法分为两类. 第一类方法利用问题的属性，因此当方法收敛时，找到的最小值保证是全局的. 第二类启发式方法使用的方法可能包括多个局部搜索，通常通过一些随机性进行调整以锁定全局最小值. 这些方法通常能找到全局最小值，但无法保证.
在收敛到解时确保可以给出全局最小值的方法包括：

	"Convex"	只使用凸方法
	"MOSEK"	对于凸问题，使用商用 MOSEK 库
	"Gurobi"	对于凸问题，使用商用 Gurobi 库
	"Xpress"	对于凸问题，使用商用 Xpress 库

启发式方法包括：

	"NelderMead"	Nelder 和 Mead 的单纯形法
	"DifferentialEvolution"	使用差分进化
	"SimulatedAnnealing"	使用模拟退火
	"RandomSearch"	使用从多个随机起始点中找到的最佳局部最小值
	"Couenne"	使用 Couenne 库处理非凸混合整数非线性问题

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

求一元函数的全局最小化点：

求多元函数的全局最小化点：

求受约束条件限制的函数的全局最小化点：

求几何区域上的全局最小化点：

绘制这些值：

范围 (40)

基本用法 (12)

求能最小化受约束条件限制的的值：

可用 VectorGreaterEqual 表示几个线性不等式约束条件：

用 v>= 或 \[VectorGreaterEqual] 输入向量不等式符号 ：

用标量不等式给出的等价形式：

使用向量变量：

由于中可能存在的逐项运算，不等式不一定和一样：

如果想要避免中不想要的逐项运算，可使用 Inactive[Plus]：

用常参数方程来避免中不想要的逐项运算：

VectorGreaterEqual 表示关于 "NonNegativeCone" 的锥不等式：

如果想明确指定锥体的尺寸，可使用 {"NonNegativeCone",n}：

求最小化点：

求能最小化受约束条件限制的的点：

用含有 "NormCone" 的锥不等式指定约束条件：

求最小化点：

求能最小化受约束条件限制的函数的点：

用 Indexed 访问向量变量的分量，如：

当向量变量不明确时，用 Vectors[n,dom] 指定维度和域：

用 NonNegativeReals () 指定非负约束条件：

用向量不等式表示的等价格式：

用 NonPositiveReals () 指定非正约束条件：

用向量不等式表示的等价格式：

可以指定 Or 约束条件：

域约束条件 (4)

用 Integers 指定整数域约束条件：

用 Vectors[n,Integers] 指定向量变量的整数域约束条件：

用 NonNegativeIntegers () 指定非负整数域约束条件：

用 NonPositiveIntegers () 指定非正整数域约束条件：

区域约束条件 (5)

求最小化在区域上的值的：

绘制这些值：

求最小化两个区域之间的距离的点和：

绘制这些值：

求使得三角形和椭圆仍然相交的最小的：

绘制这些值：

求包含给定的三个点的半径最小的圆盘：

绘制这些值：

用 Circumsphere 直接给出同样的结果：

用指定是中的一个向量，且：

线性问题 (5)

如果目标函数和约束条件是线性的，最小值即是全局最小值：

约束条件可以是等式和不等式约束条件：

用 Equal 一次表示几个等式约束条件：

用几个标量等式表示的等价形式：

用 VectorLessEqual 一次表示几个 LessEqual 不等式约束条件：

用 v<= 以紧凑格式输入向量不等式：

用几个标量不等式表示的等价形式：

用 Interval 指定变量的范围：

凸问题 (7)

用 "NonNegativeCone" 指定形如的线性函数：

用 v>= 以紧凑格式输入向量不等式：

求能最小化受线性约束条件限制的凸二次函数的点：

绘制区域和最小化点：

求能最小化受一组凸二次约束条件限制的凸二次函数的点：

绘制区域和最小化点：

求最小化两个凸区域之间的距离的点和：

绘制这些值：

求最小化的点，使得为半正定：

在目标函数图上显示最小化点：

求能最小化凸目标函数，使得为半正定且的点：

绘制区域和最小化点：

最小化 4-norm 单位圆盘上的凸目标函数：

绘制区域和最小化点：

可转化为凸问题的问题 (4)

求能最小化面积为 1 的矩形的周长，且的高和宽：

这个问题是对数-凸 (log-convex) 的，可以通过做一个变换 {hExp[],wExp[ ]} 并取对数得到凸问题来解决：

求能最小化受不等式和范数约束条件限制的拟凸函数的点. 目标函数是拟凸的，因为它是域上一个非负函数和一个非正函数的乘积：

可将拟凸问题作为参数的参数凸优化问题求解：

绘制作为水平子集的函数的目标函数：

对于水平子集在区间内的值，找到最小的值：

当水平集值增加时，问题变得不可行：

根据约束条件最小化 . 目标是不凸但可以表示为凸差函数其中和为凸函数：

绘制该区域和最小化点：

根据约束条件最大化 . 约束条件为非凸但可用一个凸差约束条件表示，其中为凸函数：

绘制该区域和最小化点：

普通问题 (3)

求能最小化受非线性约束条件限制的线性目标函数的点：

绘制这些值：

求能最小化受线性约束条件限制的非线性目标函数的的点：

绘制目标函数和最小化点：

求能最小化受非线性约束条件限制的非线性目标函数的点：

绘制这些值：

选项 (7)

AccuracyGoal & PrecisionGoal (2)

强调收敛标准和：

强调收敛标准和，这在默认的机器精度计算中是无法实现的：

设置一个较高的 WorkingPrecision ，使过程收敛：

EvaluationMonitor (1)

记录所有在求解有极小值环的函数过程中计算过的点：

绘制目标函数值接近最终答案的所有访问过的点：

Method (2)

对于某些问题，某些方法可能会给出次优结果：

自动选择的方法给出了该问题的最优解：

为下面的非凸问题自动选择的方法为 "Couenne"：

绘制目标函数和全局最小点：

当速度至关重要时，请使用方法 "NelderMead" 来求解有多个变量的问题：

StepMonitor (1)

在求经典的 Rosenbrock 函数最小值的过程中 NArgMin 采取的步骤：

WorkingPrecision (1)

工作精度设为时，AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 默认值为：

应用 (14)

几何问题 (4)

求半径为 1、圆心为和的两个圆盘上距离最近的两个点. 令为圆盘 1 上的一个点. 令为圆盘 2 上的一个点. 目标是最小化受约束条件限制的：

可视化两个点的位置：

求包围给定区域的最小包含球的半径和中心：

最小化受约束条件限制的半径：

可视化最小包含球：

可通过 BoundingRegion 高效地找到最小包含球：

求使得参数化为且包围三维中的一组点的椭圆体的体积最小化的和：

对于每个点，必须满足约束条件 $TemplateBox[{{{a, ., {p, _, i}}, +, b, }}, Norm]<=1, i=1,2,...,n$ ：

最小化体积等价于最小化：

将参数化的椭圆转换为显式形式：

也可以使用 BoundingRegion 得到包围椭圆体（体积不一定是最小的）：

求可包含个给定半径为的不重叠圆的最小正方形，其中 . 指定圆的数量和每个圆的半径：

若为圆的中心，则目标为最小化 . 可将目标转换为最小化和：

圆不可重叠：

整合这些变量：

这些圆被包含在正方形中. 计算边界和圆心：

绘制圆和边界：

计算被圆覆盖的方形面积比例：

数据拟合问题 (3)

对于给定矩阵 a 和向量 b，求可最小化受约束条件限制的的点：

将三次曲线拟合到离散数据，使数据的第一个和最后一个点位于曲线上：

用 DesignMatrix 构建矩阵：

定义约束条件，使第一个和最后一个点必须位于曲线上：

通过最小化求系数：

将拟合结果与数据相比较：

通过找出可最小化的，求对非线性离散数据的异常值不太敏感的拟合：

使用基拟合数据. 插值函数为：

求解：

可视化拟合：

将插值函数和参考函数相比较：

分类问题 (3)

求分隔两组点和的直线：

对于此分隔问题，第 1 组点必须满足，第 2 组点必须满足：

目标是最小化，它给出的是和之间距离的两倍：

分隔线为：

求分隔两组 3D 点和的二次多项式：

用 DesignMatrix 构建两组点的二次多项式数据矩阵：

对于此分隔问题，第 1 组必须满足，第 2 组必须满足：

通过最小化找出分隔多项式：

分隔两组点的多项式为：

绘制分隔两个数据集的多项式：

将给定的点集分成不同的组. 可通过最小化找出每组的中心来完成，其中是给定的局部核，是给定的惩罚参数：

核为使得，否则成立的 -近邻 () 函数. 对于此问题，选择：

目标函数为：

求各个组的中心点：

对于每个数据点，都有一个对应的中心. 属于同一个组的数据将有相同的中心值：

提取并绘制各个组：

图像处理 (1)

通过求以全变差范数计算最接近的图像来恢复损坏的图像：

通过随机删除 40% 的数据点来创建损坏的图像.

目标是最小化 $sum_(i=1)^(n-1)sum_(j=1)^(m-1)sqrt(TemplateBox[{{TemplateBox[{u, {i, +, 1}, j}, IndexedDefault], -, TemplateBox[{u, i, j}, IndexedDefault]}}, Abs]^2+TemplateBox[{{TemplateBox[{u, i, {j, +, 1}}, IndexedDefault], -, TemplateBox[{u, i, j}, IndexedDefault]}}, Abs]^2)$ ，其中是图像数据：