ParetoDistribution

ParetoDistribution[k,α]

表示极小值参数为 k、形状参数为 α 的帕累托 (Pareto) 分布.

ParetoDistribution[k,α,μ]

表示帕累托 II 型分布，位置参数为 μ.

ParetoDistribution[k,α,γ,μ]

表示帕累托 IV 型分布，形状参数为 γ.

更多信息

  • 当 时，帕累托 (Pareto) 分布中的值 的概率密度与 成正比；当 时，概率密度为 0. »
  • ParetoDistribution 包括类型 I、II、III 和 IV 的分布:
  • ParetoDistribution[k,α]帕累托 I 型分布
    ParetoDistribution[k,α,μ]帕累托 II 型分布
    ParetoDistribution[k,1,γ,μ]帕累托 III 型分布
    ParetoDistribution[k,α,γ,μ]帕累托 IV 型分布
  • ParetoDistribution[k,α,0] 也称为 Lomax 分布.
  • 在帕累托分布中 的生存函数对应于：
  • ParetoDistribution[k,α](x/k)^(-alpha) x>=k; 1 TemplateBox[{True, paclet:ref/True}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}]
    ParetoDistribution[k,α,μ](1+(x-mu)/k)^(-alpha) x>mu; 1 TemplateBox[{True, paclet:ref/True}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}]
    ParetoDistribution[k,α,γ,μ](1+((x-mu)/k)^(1/gamma))^(-alpha) x>mu; 1 TemplateBox[{True, paclet:ref/True}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}]
  • ParetoDistribution 允许 k、α 和 γ 可以是任意正实数，μ 可以是任意实数.
  • ParetoDistribution 允许 k 和 μ 为单位量纲相同的任意量，允许 α、γ 为无量纲量. »
  • ParetoDistribution 可以与 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数一起使用. »

背景

  • ParetoDistribution 表示一个由其参数结构决定的，属于四种类型——I、II、III、IV 型之一的统计分布，被称为帕累托分布. 帕累托分布的概率密度函数 (PDF) 的整体形状会因为参数而有显著的差异. 例如，I 型和 II 型帕累托分布的 PDF 是单调递减的而 IV 型分布可能有单峰. 此外，所有类型的 ParetoDistribution 的 PDF 都定义在一个半无穷区间上且 PDF 的尾部比较“胖”，意思是说当 的值较大时 PDF 的衰减是多项式级而不是指数级的.（这一行为可通过研究分布的 SurvivalFunction 做精确的定量分析.）
  • 帕累托分布源自于意大利经济学家维弗雷多·帕累托，他注意到在他花园里大约 80% 的豌豆是由大概 20% 的豌豆荚产出的. 后来，帕累托发现国民财富也服从类似的分布，这一结果让他得出了所谓 80-20 法则（也被称为帕累托法则），这是 I 型分布的基础，对应的是 情况下的 ParetoDistribution[k,α]. 帕累托分布还出现在许多其它数学与科学上下文中并可被应用于包括硬盘出错率、个股之间的价格回报以及玻色–爱因斯坦凝聚在内的许多现象.
  • RandomVariate 可被用于给出帕累托分布的一个或多个机器精度或任意精度（后者可用 WorkingPrecision 选项指定）的伪随机变量. Distributed[x,ParetoDistribution[k,α]]，更简洁的写法是 xParetoDistribution[k,α]，可被用于声明随机变量 x 是 I 型帕累托分布的. 这里，正参数 α 被称为帕累托指数. 这样一个声明之后可用在如 Probability、NProbability、Expectation 以及 NExpectation 这样的函数中.
  • I 型帕累托分布的概率密度函数和累积分布函数可用 PDF[ParetoDistribution[k,α]],x] 和 CDF[ParetoDistribution[k,α]],x] 求得，而对 II、III 及 IV 型分布公式也类似. 一般而言，帕累托分布的 PDF 正比于 . 平均数、中位数、方差、原点矩及中心矩可分别用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 计算.
  • DistributionFitTest 可被用于测试给定的数据集是否与帕累托分布一致，EstimatedDistribution 可被用于根据给定数据估算帕累托参数化分布，而 FindDistributionParameters 可拟合数据和帕累托分布. ProbabilityPlot 可被用于生成给定数据的 CDF 相对于符号帕累托分布的 CDF 的图线，而 QuantilePlot 可被用于生成给定数据的分位数相对于符号帕累托分布的分位数的图线.
  • TransformedDistribution 可被用于表示转换的帕累托分布，CensoredDistribution 可被用于表示删截后位于上限值和下限值之间的值分布，而 TruncatedDistribution 可被用于表示截断后位于上限值和下限值之间的值分布. CopulaDistribution 可被用于建立包含了帕累托分布的高维分布，而 ProductDistribution 可被用于计算包括帕累托分布在内的，若干个独立分量的联合分布.
  • ParetoDistribution 与许多其它分布密切相关. 例如，帕累托分布是 ZipfDistribution 在连续情况下的类比. 作为其定义的结果，帕累托分布的随机变量的倒数服从 PowerDistribution. 此外，帕累托分布的随机变量的独立样本在适当居中和缩放后总值的分布接近 StableDistribution，而服从 ExponentialDistribution 分布的随机变量的指数函数服从 ParetoDistribution. ParetoDistribution 还和 LogNormalDistribution、BenktanderWeibullDistribution、BeniniDistribution、BenktanderGibratDistribution、ChiSquareDistribution、PearsonDistribution 和 BetaPrimeDistribution 密切相关.

范例

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基本范例  (12)

帕累托 I 型分布的概率密度函数：

帕累托 I 型分布的累积分布函数：

帕累托 I 型分布的均值和方差：

帕累托 I 型分布的中位数：

帕累托 II 型分布的概率密度函数：

帕累托 II 型分布的累积分布函数：

帕累托 II 型分布的均值和方差：

帕累托 II 型分布的中位数：

帕累托 IV 型分布的概率密度函数：

帕累托 IV 型分布的累积分布函数：

帕累托 IV 型分布的均值和方差：

帕累托 IV 型分布的中位数：

范围  (10)

创建服从帕累托分布的伪随机数样本：

比较直方图和概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本密度直方图和估计分布的概率密度函数：

帕累托 I 型和帕累托 II 型分布的偏度只取决于所定义的 α：

极值：

帕累托 IV 型分布的偏度不依赖于定位参数 μ：

帕累托 I 型和帕累托 II 型分布的峰度在定义区间上是相同的：

极值：

帕累托 IV 型分布的峰度独立于定位参数 μ：

以参数的函数形式表示帕累托 I 型分布的不同矩的解析式：

Moment:

具有符号式阶数的解析式：

CentralMoment:

具有符号式阶数的解析式：

FactorialMoment:

Cumulant:

帕累托 II 型分布的不同矩：

Moment:

具有符号式阶数的解析式：

CentralMoment:

FactorialMoment:

Cumulant:

帕累托 IV 型分布的不同矩：

Moment:

CentralMoment:

FactorialMoment:

Cumulant:

帕累托 I 型分布的风险函数：

帕累托 II 型分布的风险函数：

帕累托 IV 型分布的风险函数：

帕累托 I 型分布的分位数函数：

帕累托 II 型分布的分位数函数：

帕累托 IV 型分布的分位数函数：

参数中对 Quantity 使用的一致性产生了 QuantityDistribution：

模型中的薪水的百分数：

应用  (5)

ParetoDistribution 作为一个长尾分布，可用于对城市人口规模进行建模：

比较人口规模直方图和估计分布的概率密度函数：

求城市人口规模至少为 10000 人的概率：

求平均城市规模：

仿真 20 个随机选择的城市的人口规模：

用 ParetoDistribution 对一所大型州立大学的收入情况进行建模：

调整兼职工资为全职工资，并选择非零值：

对数据进行帕累托分布拟合：

比较数据的直方图与估计分布的概率密度函数：

求该大型州立大学的平均收入：

求工资不高于 $50000 的概率：

求工资不低于 $150000 的概率：

求工资的中位数：

对这样一所大学中随机选择 100 个员工的收入情况进行模拟：

设备的使用寿命服从 ParetoDistribution：

求设备的可靠性：

求该设备的平均使用寿命：

求设备可用时间为 6 年以上的概率：

求设备的故障率：

考虑从 1935 年到 1989 年记载的美国的地震震幅：

在里氏等级体系中记载的震幅整数部分可以用 ParetoDistribution 模拟：

比较振幅的直方图和拟合分布：

求出在里氏等级体系中地震震幅至少为 6 的概率：

求出平均震幅：

仿真接下来的 30 个地震：

使用截断 Pareto IV 型分布定义 Bradford 分布：

求当形状参数趋向于 0 时的密度函数的极限：

替代简化的常量：

定义 Bradford 分布：

Bradford 概率密度函数：

累积分布函数：

产生随机数：

属性和关系  (20)

当平移时，新生成的分布仍然是帕累托分布：

概率密度与随机变量有幂律关系：

对于取自帕累托分布的样本，其最小值所对应的分布族仍然是帕累托分布：

对于形状参数的不同值：

截断的特殊情况：

与其它分布的关系：

帕累托 II 型分布是第 6 类 PearsonDistribution 的一个特例：

帕累托 I 型分布是 BeniniDistribution 的一个特例：

对于 ，帕累托 II 型分布简化为帕累托 I 型：

对于 ，帕累托 IV 型分布简化为帕累托 II 型：

帕累托分布是 PowerDistribution 的逆分布：

帕累托分布是 BenktanderGibratDistribution 的一个极限情况：

帕累托分布是 BenktanderWeibullDistribution 的一个极限情况：

ChiSquareDistribution 是帕累托分布变量的一个转换：

ChiSquareDistribution 是帕累托分布变量的一个转换：

帕累托分布是 ExponentialDistribution 的一个变换：

帕累托分布的变换可生成 ExponentialDistribution：

帕累托 II 型分布与 BetaPrimeDistribution 相关：

帕累托 IV 型分布与 BetaPrimeDistribution 相关：

ParetoDistribution 可作为 ExponentialDistribution 和 ErlangDistribution 的商获得：

ParetoDistribution 可以作为 ExponentialDistribution 和 GammaDistribution 的商获得：

可能存在的问题  (3)

当 k 不是一个实数， ParetoDistribution 没有定义：

当 α 不是一个正实数， ParetoDistribution 没有定义：

把无效参数代入符号式输出，所得到的计算结果没有任何意义：

对于 ，帕累托 II 分布不是帕累托 I：

对于 ，帕累托 II 分布简化为帕累托 I:

巧妙范例  (1)

不同 γ 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

Wolfram Research (2007)，ParetoDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ParetoDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2007)，ParetoDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ParetoDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "ParetoDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/ParetoDistribution.html.

APA

Wolfram 语言. (2007). ParetoDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ParetoDistribution.html 年

BibTeX

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