PearsonDistribution

PearsonDistribution[a1,a0,b2,b1,b0]

表示参数为 a1、a0、b2、b1 和 b0 的 Pearson 系列分布.

PearsonDistribution[type,a1,a0,b2,b1,b0]

表示给定 type 的 Pearson 分布.

更多信息

背景

  • PearsonDistribution 表示由参数结构决定的七种类型的统计分布中的一种，这七种分布统称为 Pearson 分布. Pearson 分布的名称源自于英国数学家 Karl Pearson，他提出这一分布是为了对有明显偏斜的分布建模.
  • Pearson 分布的概率密度函数（PDF）的整体形状会因为其参数而有显著的差异. 例如，I 型 Pearson 分布的 PDF 可能单调递增、单调递减，或可能有单个的“峰”（即全局最大值），而 IV 型 Pearson 分布总是单峰形状且看上去是偏斜的，不对称的高斯分布. 此外，各种类型的 PearsonDistribution 的 PDF 可能定义在不同类型的区间上（比如 I 型 Pearson 分布的定义域是有界的，长度有限的区间，而 IV 型的定义域是整个 ），并且根据类型的不同， PDF 的尾部可能是“胖的”（即对较大的 的值 PDF 的衰减是非指数级的）或者是“瘦的”（即对较大的 的值 PDF 的衰减是指数级的）.（这一行为可通过研究分布的 SurvivalFunction 做精确的定量分析.）
  • IV 型 Pearson 分布通常被用于拟合从数据或蒙特卡罗模拟中得到的分布，而其它 Pearson 系列的分布旨在对可由 IV 型而不是其它更“标准”的分布较好的进行建模的单峰分布建模. 许多分布（或其极限值和/或特例）可用 Pearson 分布族描述，这意味着可以用 Pearson 分布建模的现象类型极其广泛. 例如，某些类型的 Pearson 分布在描述疾病传播行为，维纳过程的性质，贝叶斯统计的基本概念，保险索赔的大小和细菌的基因表达等方面发挥着根本性的作用.
  • RandomVariate 可被用于给出 Pearson 分布的一个或多个机器精度或任意精度（后者可用 WorkingPrecision 选项指定）的伪随机变量. Distributed[x,PearsonDistribution[type,a1,a0,b2,b1,b0]]，更简洁的写法是 xPearsonDistribution[type,a1,a0,b2,b1,b0]，可被用于声明随机变量 x 是 type 型 Pearson 分布的. 这样一个声明之后可用在如 Probability、NProbability、Expectation 以及 NExpectation 这样的函数中.
  • 给定的 type 型 Pearson 分布的概率密度函数和累积分布函数可用 PDF[PearsonDistribution[type,a1,a0,b2,b1,b0],x] 和 CDF[PearsonDistribution[type,a1,a0,b2,b1,b0],x] 求得. Pearson 分布是很特殊的，意思是说它们的 PDF 满足包含简单有理函数的，形为 的一阶微分方程. 平均数、中位数、方差、原点矩及中心矩可分别用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 计算. 当一个 Pearson 分布有限时，它被前四个量唯一决定.
  • DistributionFitTest 可被用于测试给定的数据集是否与 Pearson 分布一致，EstimatedDistribution 可被用于根据给定数据估算 Pearson 参数化分布，而 FindDistributionParameters 可拟合数据和 Pearson 分布. ProbabilityPlot 可被用于生成给定数据的 CDF 相对于符号 Pearson 分布的 CDF 的图线，而 QuantilePlot 可被用于生成给定数据的分位数相对于符号 Pearson 分布的分位数的图线.
  • TransformedDistribution 可被用于表示转换的 Pearson 分布，CensoredDistribution 可被用于表示删截后位于上限值和下限值之间的值分布，而 TruncatedDistribution 可被用于表示截断后位于上限值和下限值之间的值分布. CopulaDistribution 可被用于建立包含了 Pearson 分布的高维分布，而 ProductDistribution 可被用于计算包括 Pearson 分布在内的，若干个独立分量的联合分布.
  • PearsonDistribution 与许多其它分布密切相关. 例如，I 型和 II 型 Pearson 分布是 BetaDistribution 经过平移和缩放后的版本，III 型同时推广了 NormalDistribution 和 GammaDistribution，V 型是 InverseGammaDistribution 平移后的版本，而 VI 型和 VII 型分别是 FRatioDistribution 和 StudentTDistribution 经过平移和缩放后的版本. 虽然 IV 型 Pearson 分布和在这种通常意义下的其它标准分布无关，但它们的 PDF 看上去都是 StudentTDistribution 的非对称版本. 此外，对于特定的参数值，IV 型 Pearson 分布变成了 CauchyDistribution 的推广. PearsonDistribution 还和 ArcSinDistribution、BetaPrimeDistribution、PowerDistribution、ParetoDistribution、LevyDistribution、InverseChiSquareDistribution、HotellingTSquareDistribution、HalfNormalDistribution 和 ErlangDistribution 密切相关.

范例

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基本范例  (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

Pearson 第4类的均值和方差：

Pearson 第4类的分布：

范围  (8)

生成服从 Pearson 分布的伪随机数样本：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本密度直方图和估计分布的概率密度函数：

偏度：

峰度：

以参数的函数形式表示Pearson 第4类分布的不同矩量的解析式

Moment:

CentralMoment:

FactorialMoment:

Cumulant:

风险函数：

分位数函数：

在参数中对 Quantity 使用的一致性产生了 QuantityDistribution：

求此模型中期权价格的偏度：

应用  (3)

PearsonDistribution 第4类是唯一的与其它标准分布不相关的类型：

求 Pearson IV 随机变量在绘制区域外的概率：

PearsonDistribution 的矩满足三项递归方程，其中密度函数 是由微分方程定义的：

使用标准中心矩表达矩方程：

增加方程来修正系数的归一化：

解方程：

以标准中心矩来定义 Pearson 分布：

检查结果：

用0均值和单位方差定义 Pearson 分布，由偏度和峰度进行参数化：

获得Pearson 第 1、4和6类参数不等式：

决定 PearsonDistribution 类型，其矩匹配样本矩：

比较估计分布：

属性和关系  (24)

在仿射变换下，对 PearsonDistribution 族的某些成员所新生成的分布仍然是 Pearson 分布：

与其它分布的关系

ArcSinDistribution 是 Pearson 第1类和第2类分布的特殊类型：

BetaDistribution 是一种特殊的 Pearson 第1类分布：

PowerDistribution 是一种特殊的 Pearson 第1类分布：

WignerSemicircleDistribution 是一种特殊的 Pearson 第1类和第2类分布：

ChiSquareDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

ErlangDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

ExponentialDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

GammaDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

尺度调整的 HalfNormalDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

NormalDistribution 是一种特殊的 Pearson 第3类分布：

CauchyDistribution 是 Pearson 第4类分布的极限情形：

CauchyDistribution 是一种特殊的 Pearson 第7类分布：

StudentTDistribution 是一种特殊的 Pearson 第4类和第7类分布：

广义的 StudentTDistribution 是一种特殊的 Pearson 第4类和第7类分布：

InverseChiSquareDistribution 是一种特殊的 Pearson 第5类分布：

尺度缩放后的 InverseChiSquareDistribution 是一种特殊的 Pearson 第5类分布：

InverseGammaDistribution 是一种特殊的 Pearson 第5类分布：

LevyDistribution 是一种特殊的 Pearson 第5类分布：

BetaPrimeDistribution 是一种特殊的 Pearson 第6类分布：

FRatioDistribution 是一种特殊的 Pearson 第6类分布：

HotellingTSquareDistribution 是一种特殊的 Pearson 第6类分布：

ParetoDistribution 是一种特殊的 Pearson 第6类分布：

巧妙范例  (1)

绘制不同 a_0 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

Wolfram Research (2010)，PearsonDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PearsonDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，PearsonDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PearsonDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "PearsonDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/PearsonDistribution.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). PearsonDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PearsonDistribution.html 年

BibTeX

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