Product

Product[f,{i,i_max}]

乗積を評価する．

Product[f,{i,i_min,i_max}]

から開始する．

Product[f,{i,i_min,i_max,di}]

ステップ di を使用する．

Product[f,{i,{i₁,i₂,…}}]

連続する値 i₁, i₂, …を使用する．

Product[f,{i,i_min,i_max},{j,j_min,j_max},…]

多重積を評価する

Product[f,i]

不定形の積を与える．

詳細とオプション

Product[f,{i,i_max}]はf と入力できる．
∏はprodまたは\[Product]と入力できる．
Product[f,{i,i_min,i_max}]はf と入力できる．
極限は，通常の入力では∏の真下付き文字と真上付き文字で，他のテキストに入れ込まれる場合は下付き文字と上付き文字で表される．
Productは，Wolfram言語の標準的な反復の指定を使用する．
反復変数 i は，実質的にBlockを使って局所的なものとして取り扱われる．
乗積範囲が有限の場合，一般に i には一連の値が割り当てられ，そのそれぞれについて f が評価される．
多乗積では，最も外側の変数の範囲がまず与えられる．
乗積の極限は数値である必要はなく，Infinityあるいは記号式でもよい．
乗積が有限個の項で乗ずることにより具体的に実行できない場合，Productは記号的な結果を求めることを試みる．この際，f が初めに記号的に評価される．
不定形の積は連続するを持つ項の割合がを返すと定義できる．
定和分と不定和分はどのような順序ででも混ぜることができる．
次は，使用可能なオプションである．

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
GenerateConditions	False	パラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
GeneratedParameters	None	生成されたパラメータにどのように名前を付けるか
Method	Automatic	使用するメソッド
Regularization	None	使用する正規化
VerifyConvergence	True	収束を確かめるかどうか

Regularizationの可能な値にはNoneと"Dirichlet"がある．{reg₁,reg₂,…}は多重積において異なるスキームに異なる変数を指定する．
Productは標準的な本の公式集に載っているすべての基礎的な乗積を行うことができる．
Productは∏を使ってStandardFormで出力される．
Parallelize[Product[f,iter]]またはParallelProduct[f,iter]はProduct[f,iter]をすべてのサブカーネルで並列に計算する． »

例題

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例 (5)

数値積：

記号積：

prodで∏を入力し，で下限を，続いてで上限を入力する：

無限積：

についての積を持つ多重積が最初に行われる：

スコープ (28)

基本的な用法 (9)

有限範囲での積：

刻み幅2を使う：

要素のリストを使う：

一連の部分積をプロットする：

有限範囲における多重積：

異なる刻み幅を使う：

多変数の数列とその部分積の対数をプロットする：

最も外側の積の境界は，より内側の変数に依存することができる：

標準的な反復範囲でリストの積を組み合せる：

反復リストの要素は任意の式でよい：

無限範囲で積を計算する：

無限範囲での多変数の積：

記号的な範囲を使う：

不定形の積：

比は被乗数に等しい：

積は不定形の積の比として与えられる：

多変数の不定形の積：

不定形の積と積の混合：

GenerateConditionsを使って答が真となる条件を求める：

結果の答をRefineする：

Assumptionsを使ってProductに仮定を直接与える：

未評価の積にNを適用することは，事実上，NProductを使うことになる：

特殊な不定形の積 (10)

一般関数を伴う式の比：

不定形の積は定数因子まで一意的である：

指数関数については，積は総和に等しい：

結果は定数因子分異なる：

多項式関数の積は常に階乗関数によって計算される：

有理関数の積は常に有理関数と階乗として表すことができる：

階乗関数の最小数が使われる：

超幾何項数列はBarnesGを使って表すことができる：

DiscreteRatioはすべての超幾何項数列について有理である：

多くの関数が超幾何項を与える：

超幾何項の任意の積は超幾何項である：

一般にこれらの積にはBarnesGが必要である：

q多項式の積は常にq階乗関数によって表すことができる：

q多項式は多項式と指数を組み合せたものである：

q有理関数の積は常にq有理関数とq階乗関数によって得ることができる：

q有理関数は有理関数と指数を組み合せたものである：

一般にRootオブジェクトが必要である：

多項式は三角関数の有理関数である：

双曲線関数についても同様：

有理関数の多項式のベキ乗：

FloorとCeilingに関連する関数：

周期数列：

周期数列に任意の関数を適用しても周期数列が生成される：

周期指数乗された数列：

非周期指数乗された周期数列：

テレスコーピング積：

特殊積 (9)

指数関数について，積は総和に等しい：

有理積は階乗関数として表すことができる：

無限積で，被乗数の極限は1つでなければならない：

無限積は収束しないことがある：

超幾何項の積はBarnesGによって表すことができる：

q多項式積はq階乗関数によって表すことができる：

q有理関数の積の中にはq有理関数によって表すことのできるものがある：

しかし，一般的にはq階乗関数が必要である：

三角関数と双曲線関数の積：

区分積はしばしば前のクラスに簡約することができる：

その他の場合，区分部分は最終的に定数になる：

特殊積：

テレスコーピング積：

複合積：

一般化と拡張 (1)

ParallelProductはProductを並列に計算する：

Productは，事実上ParallelProductを使って自動的に並列化できる：

オプション (4)

Assumptions (1)

Assumptionsを使ってパラメータに関する条件が異なる場合の動作を調べる：

GenerateConditions (1)

無限積が収束する条件を生成する：

Regularization (1)

すべての素数の積は発散する：

Regularizationを使ってこの積に有限の値を割り当てる：

VerifyConvergence (1)

すべての自然数の積は発散する：

VerifyConvergenceをFalseに設定するとこのような場合に有限の値が割り当てられることがある：

アプリケーション (6)

積によって定義される関数 (1)

Factorialを含む多くの特殊関数は積によって定義される：

Pochhammer：

FactorialPower：

QPochhammer：

Hyperfactorial：

およびBarnesG：

定数の積表示 (1)

Piを含む多くの定数が積によって表現できる：

E：

Glaisher：

関数の積表示 (1)

初等関数のワイエルシュトラス(Weierstrass) 因子分解：

ラグランジュ補間を使った近似表示 (1)

ラグランジュ(Lagrange)補間多項式：

記号としての値についてのラグランジュ補間多項式：

記号としての値についてのニュートン(Newton)補間多項式：

積からの最適化表示 (1)

記号による閉形式の積を使うと評価が速くなる：

閉形によるものと手続き型評価の所要時間を比べる：

パラメータ推定のための尤度関数 (1)

分布関数とデータ集合についての尤度関数を定義する：

小さいデータ集合のExponentialDistributionについての尤度関数：

最尤度母数推定器を求める：

BernoulliDistributionの尤度関数：

特性と関係 (4)

NProductは数値的方法を使って積を計算する：

Nを未評価の積に適用する際には，実質的にNProductが使われる：

DiscreteRatioは不定形の積の逆である：

Productは，実質的にRSolveで解くのと同じように特殊差分方程式を解く：

考えられる問題 (2)

積は収束しないことがある：

積の上限は下限からの整数距離であると推定できる：

GenerateConditionsを使って明示的な推定を得る：

一般に上限は下限からの距離の倍数であると推定できる：

GenerateConditionsを使うと推定が明示的になる：

おもしろい例題 (2)

ZetaとPolyLogの導関数による答：

無限積の表を作る：

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