Product

Product[f,{i,i_max}]

计算乘积 .

Product[f,{i,i_min,i_max}]

以开始.

Product[f,{i,i_min,i_max,di}]

用步长 di.

Product[f,{i,{i₁,i₂,…}}]

用连续值 i₁，i₂，….

Product[f,{i,i_min,i_max},{j,j_min,j_max},…]

计算多重积 .

Product[f,i]

给出不定乘积 .

更多信息和选项

Product[f,{i,i_max}] 可以输出为 f.
∏ 可以输出为 prod 或 \[Product].
Product[f,{i,i_min,i_max}] 可以输出为 f.
在正常输出中，∏ 的限应为底标和顶标，而当嵌在其它文本中时为下标和上标.
Product 用标准的 Wolfram 语言迭代指定.
迭代变量 i 通过使用 Block 视为局部的.
如果一个乘积范围是有限的，i 通常分配给一系列值，每个值计算 f.
在多重积中，首先给出最外层变量的范围.
一个乘积的极限不一定是数. 它们可以是 Infinity 或符号表达式.
如果一个乘积不能表示成有限项的乘积形式，Product 试图找到一个符号结果. 在这种情况下，f 首先进行符号计算.
定义了不定乘积，以便有连续的项的比率给出 .
定和不定总和可以以任何顺序混合使用.
可以提供以下选项：

Assumptions	$Assumptions	关于参数的假设
GenerateConditions	False	是否产生涉及参数条件的答案
GeneratedParameters	None	如何命名产生的参数
Method	Automatic	使用的方法
Regularization	None	使用哪种正规化
VerifyConvergence	True	是否验证收敛性

Regularization 的可能值包括 None 和 "Dirichlet". {reg₁,reg₂,…} 在多重积中，对不同的变量指定不同的方案.
Product 实际上执行标准表给出的所有乘积.
Product 用 ∏ 以 StandardForm 形式输出.
Parallelize[Product[f,iter]] 或 ParallelProduct[f,iter] 在所有子内核中并行计算 Product[f,iter]. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (5)

数值乘积：

符号乘积：

用 prod 输入 ∏ 以及输入下限，然后用输出上限：

无限乘积：

多重乘积，首先执行上的积：

范围 (28)

基本用途 (9)

在有限范围上的有限乘积：

使用步长2：

使用元素列表：

绘制部分乘积序列：

在有限范围上的多重乘积：

使用不同的步长：

绘制多变量序列和它的部分乘积的对数：

最外层的乘积限可能依靠内部变量：

列表和标准迭代范围的组合乘积：

迭代列表中的元素可以是任何表达式：

计算无限范围上的乘积：

无限范围上的多元乘积：

使用一个符号范围：

不定乘积：

该比率相当于被乘数：

有限乘积为不定乘积的比率：

多元不定乘积：

混合不定乘积和有限乘积：

使用 GenerateConditions 获得答案是正确的的条件：

Refine 得到的答案：

使用 Assumptions 直接提供对 Product 的假设：

对未经计算的式子运用 N 实际上相当于使用 NProduct：

特殊不定乘积 (10)

表达式和一般函数的比：

对于常数因子不定乘积是惟一的：

对于指数函数，乘积相当于总和：

结果相差一个常数因子：

多项式函数总是可以用阶乘函数求乘积：

有理函数的乘积总是可以表达为有理函数和阶乘：

使用最小数量的阶乘函数：

超几何项序列可以用 BarnesG 来表达：

对所有超几何项序列， DiscreteRatio 是有理数：

许多函数给出超几何项：

超几何项的乘积是超几何项：

它们的乘积一般需要 BarnesG：

q 多项式乘积总是可以用 q 阶乘函数来表示：

一个 q 多项式由一个多项式和指数组成：

q 有理函数的乘积总是可以用 q 有理数和 q 阶乘来表示：

一个 q 有理函数由一个有理函数和指数组成：

一般需要 Root 对象：

三角函数的多项式和有理函数：

对双曲线函数是相似的：

有理函数为多项式的幂：

Floor 和 Ceiling 相关的函数：

周期序列：

应用于周期序列的任何函数产生一个周期序列：

一个序列变为周期性指数：

一个周期序列变为非周期性指数：

压缩乘积：

特殊有限乘积 (9)

对指数函数，乘积相当于总和：

有理乘积可以用阶乘函数来表达：

对于无限乘积，被乘数的极限必须为 1：

无限乘积可能不收敛：

超几何项的乘积可以用 BarnesG 来表达：

q 多项式乘积可以用 q 阶乘函数来表示：

一些 q 有理函数的乘积可以用 q 有理函数来表示：

但是一般它们需要 q 阶乘函数：

三角和双曲线函数的乘积：

分段乘积往往可以简化成以前的分类：

在其他情况下，分段部分最终是常数：

特殊乘积：

压缩乘积：

多重乘积：

推广和延伸 (1)

ParallelProduct 并行计算 Product：

Product 可以有效使用 ParallelProduct 自动并行运行：

选项 (4)

Assumptions (1)

用 Assumptions 来研究在不同条件下参数的行为：

GenerateConditions (1)

产生无限乘积收敛的条件：

Regularization (1)

所有素数的乘积是发散的：

使用 Regularization 给这个乘积分配一个有限值：

VerifyConvergence (1)

所有自然数的乘积是发散的：

在这种情况下，设置 VerifyConvergence 为 False 可能会分配一个有限值：

应用 (6)

乘积定义的函数 (1)

许多特殊函数是由乘积定义的，包括 Factorial：

Pochhammer：

FactorialPower：

QPochhammer：

Hyperfactorial：

以及 BarnesG：

常数的乘积表达 (1)

许多常数可以用乘积来表达，包括 Pi：

E：

Glaisher：

函数的乘积表达 (1)

初等函数的 Weierstrass 分解：

使用拉格朗日插值的近似表达 (1)

拉格朗日插值多项式：

符号值的拉格朗日插值多项式：

符号值的牛顿插值多项式：

乘积优化表达 (1)

用一个符号封闭形式的乘积可以提供快速计算：

比较封闭形式和程序性计算的时间：

估计参数的似然函数 (1)

对分布和数据集定义一个似然函数：

一个小数据集 ExponentialDistribution 的似然函数：

找到最大似然参数估计：

BernoulliDistribution 的似然函数：

属性和关系 (4)

NProduct 用数值方法计算乘积：

将 N 应用到一个未计算的乘积上，等价于使用 NProduct：

DiscreteRatio 是不定乘积的逆：

Product 本质上求解一个特定的微分方程，类似求解 RSolve：

可能存在的问题 (2)

乘积可能不收敛：

上乘积极限假设为从下极限的一个整数距离：

使用 GenerateConditions 得到明确的假设：

一般情况下，上极限假设为从下极限的一个距离的倍数：

使用 GenerateConditions，假设是明确的：

巧妙范例 (2)

用 Zeta 和 PolyLog 的导数表示答案：

生成无限乘积表：

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