SolveValues

SolveValues[expr,vars]

系 expr の解によって決定される vars の値を与える．

SolveValues[expr,vars,dom]

領域 dom 上の解を使う．dom には，Reals，Integers，Complexesがよく使われる．

詳細とオプション

  • 系 expr は以下の任意の論理結合でよい．
  • lhs==rhs等しい
    lhs!=rhs等しくない
    lhs>rhs または lhs>=rhs 不等式
    expr∈dom領域指定
    {x,y,…}∈reg領域指定
    ForAll[x,cond,expr]全称記号
    Exists[x,cond,expr]存在記号
  • SolveValues[{expr1,expr2,…},vars]はSolveValues[expr1&&expr2&&…,vars]に等しい．
  • 単一の変数が指定された場合，結果は expr がTrueとなる変数の値のリストである．
  • 変数のリストが指定された場合，結果は expr がTrueとなる変数の値のリストのリストである．
  • 単一の変数が指定されて方程式の特定の根の多重度が1より大きい場合，SolveValuesは対応する解を複数個与える．
  • SolveValues[expr,vars]は，デフォルトで，不等式に代数的に現れる数量は実数であると仮定し，その他の数量はどれも複素数であると仮定する．
  • SolveValues[expr,vars,dom]は，変数とパラメータはすべてを領域 dom に属するように限定する．
  • dom がRealsまたはIntegersやRationalsのようなその部分集合の場合，制約条件と関数の値はすべて実数に制限される．
  • SolveValues[expr&&vars∈Reals,vars,Complexes]は変数の実数値について解かれるが，関数値は複素数でもよい．
  • SolveValues[expr,vars,Integers]はディオファントス方程式を整数上で解く．
  • SolveValues[…,x∈reg,Reals]は x が領域 reg 上にあるように制限する．x の別の座標はIndexed[x,i]を使って参照できる．
  • vars がなく互いに互いを含まない expr 中の代数的変数は，独立パラメータとして扱われる．
  • SolveValuesは，主に，線形方程式および整方程式を扱う．
  • SolveValuesは，expr が実数領域または複素数領域上で整方程式と整不等式のみを含むときは，原則として，常に vars について直接解くことができる．
  • SolveValuesは，expr が超越条件または整数領域を含むときは，その結果にしばしば追加的なパラメータを導入する．
  • SolveValuesは，整数上のすべての線形方程式および不等式について解の明示的な表現を与えることができ，文献で説明されているディオファントス方程式の大部分を解くことができる．
  • expr が実数または複素数領域上で多項式条件のみを含むとき，SolveValues[expr,vars]は常に量化記号を消去することができる．
  • SolveValuesは一般解のみを与える．連続パラメータが方程式を満足する場合にのみ有効な解は削除される．そのほかの条件つきでのみ有効な解はConditionalExpressionオブジェクトとして表される．
  • Conditions included in ConditionalExpression解に含まれる条件は，不等式，Element宣言，非連続パラメータについての方程式および不等式，全次元の解を持つ方程式を含むことがある．非連続パラメータおよび変数についての不等式とNotElement条件は削除される．
  • SolveValuesは非等価変換を使って超越方程式の解を求めることがあるため，解の中には求められないものもあるかもしれず，求まった解の有効性についての厳密な条件を確立しないかもしれない．そのような場合はエラーメッセージが出される．
  • SolveValuesは，近似数値係数を持つ疎な線形方程式系を扱う際に特別の効率的な手法を使う．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    Cubics Automaticすべての三次方程式を解く際に明示的な累乗根を使うかどうか
    GeneratedParameters C生成されたパラメータにどのように命名するか
    InverseFunctions Automatic記号逆関数を使うかどうか
    MaxExtraConditions 0連続パラメータについての追加的な等式条件をいくつ許すか
    MaxRoots Infinity返される根の最大数
    Method Automatic使用するメソッド
    Modulus 0整数に仮定する法
    Quartics Automaticすべての四次方程式を解くために明示的な累乗根を使うかどうか
    VerifySolutions Automatic非等価変換で得られた解を検証するかどうか
    WorkingPrecision Infinity計算精度
  • MaxExtraConditions->Automaticのときは，連続パラメータについての最低数の等式条件が必要な解だけが含まれる．
  • MaxExtraConditions->Allのときは，パラメータについての任意の条件を必要とする解が与えられ，すべての条件が含まれる．
  • MaxExtraConditions->k のときは，連続パラメータについての最高で k 個の等式条件を必要とする解だけが含まれる．
  • SolveValuesは，Method->Reduceのときは，等価変換だけを使ってすべての解を求める．
  • SolveValues[eqns,…,Modulus->m]は m を法とする整数上で方程式を解く．SolveValuesは，Modulus->Automaticのときは方程式が解を持つ最大の法を求めようとする．

例題

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例  (5)

二次方程式を解く：

と についての連立方程式を解く：

方程式を実数上で解く：

方程式を正の整数上で解く：

方程式を幾何学領域で解く：

スコープ  (87)

基本的な用法  (7)

解は，指定された変数の値のリストとして与えられる：

解が方程式を満足することを確認する：

SolveValuesは，解がない場合は空リストを返す：

変数の中には自由パラメータとして解に現れるものがあるかもしれない：

指定の領域上で解を求める：

係数が記号パラメータを含む方程式を解く：

yについての解の実部をパラメータaの関数としてプロットする：

次の方程式の実数上の解は，パラメータについての条件を必要とする：

Normalを使って条件を削除する：

次の方程式の正の整数上での解は，新たなパラメータの導入を必要とする：

最初の10の解のリスト：

一変数複素方程式  (16)

累乗根で可解の整方程式：

三次方程式を解くための一般的な公式が使いたければ，CubicsTrueと設定する：

デフォルトで，SolveValuesはRootオブジェクトを使って一般的な三次方程式の解を表す：

一般的な整方程式：

複数の根を持つ整方程式：

高次多項式の5つの根を求める：

記号係数を持つ整方程式：

代数方程式：

超越方程式の完全解：

超越方程式の部分解：

SolveValuesは，ここではすべての解を求めることはできない：

3つの解を求める：

有界領域上の一変量初等関数方程式：

有界領域上の一変量正則関数方程式：

以下では，SolveValuesはいくつかの解は求めるが，それ以外の解がないことは証明できない：

複素平面の縦の帯上で純粋な複素周期を持つ方程式：

無制限の複素方程式の根を指定された数だけ求める：

記号関数：

非解析的複素方程式：

多変量複素方程式系  (12)

線形方程式系：

記号係数を持つ線形方程式：

線形方程式の劣決定系：

解がない線形方程式：

整方程式系：

多項式系の無数の根のうちの5つを求める：

記号係数を持つ整方程式：

代数方程式：

超越方程式：

超越方程式の根を指定の数だけ求める：

有界のボックス上の解析二乗系：

非解析的方程式：

一変量実方程式  (13)

整方程式：

複数の根を持つ整方程式：

記号係数を持つ整方程式：

代数方程式：

区分方程式：

逆関数を使って可解の超越方程式：

特殊関数の零点を使って可解の超越方程式：

特殊関数の零点を使ってか下記の超越不等式：

指数対数方程式：

高次の疎な整方程式：

高次の累乗根を含む代数方程式：

非有理実数ベキを含む方程式：

重根を持つ方程式：

単調な初等関数方程式：

有界区間内の初等関数方程式：

有界区間内の正則関数方程式：

実数上の周期初等関数方程式：

多変量の実方程式と不等式の系  (10)

線形系：

多項式系：

定量化された多項式系：

代数方程式系：

区分方程式系：

逆関数を使って可解の超越方程式系：

最初の変数で指数対数方程式，その他の変数で多項式の系：指数対数方程式系：

定量化された系：

最初の変数で初等かつ有界の方程式，その他の変数で多項式の系：

定量化された系：

最初の変数で正則かつ有界の方程式，その他の変数で多項式の系：

定量化された系：

有界領域上の解析方程式の二乗系：

ディオファントス方程式  (11)

方程式の線形系：

方程式と不等式の線形系：

一変量整方程式：

二項二次方程式：

トゥエ(Thue)方程式：

二次方程式の和：

ピタゴラス方程式：

方程式と不等式の有界の系：

解がない高次の系：

超越ディオファントス系：

合同の多項式系：

モジュラ方程式  (4)

線形系：

一変量整方程式：

整方程式と整不等式の系：

定量化された多項式系：

有限体上の方程式  (3)

一変量方程式：

線形方程式系：

整方程式系：

混合変数領域の系  (2)

実変数と複素変数の混合：

実変数と整数変数の混合：

幾何学領域制約がある系  (9)

2Dの特殊領域上で解く：

プロットする：

3Dの特殊領域上で解く：

プロットする：

定量化された系：

陰的に定義された領域：

パラメータ的に定義された領域：

派生領域：

プロットする：

領域のデカルト積上で量記号を削除する：

パラメータに依存する領域：

答はパラメータの値 に依存する：

を使って が のベクトルであると指定する：

この場合は， は のベクトルである：

オプション  (26)

Assumptions  (4)

Assumptionsを使ってパラメータの条件を指定する：

デフォルトで，方程式を満足するためにパラメータが必要な解は生成されない：

パラメータが仮定として与えられている方程式については解が返される：

変数を解くことを含む仮定は解くべき系の一部あるとみなされる：

Assumptionsを使わない同等の宣言：

離散集合に属すると仮定されるパラメータがあると，任意の条件を含む解が返される：

Cubics  (3)

デフォルトで，SolveValuesは，記号的なパラメータがある場合にのみ一般的な公式を使って三次方程式を累乗根の形で解く：

SolveValuesは，数値係数を持つ多項式については公式を使わない：

Cubics->Falseのとき，SolveValuesは決して公式を使わない：

Cubics->Trueのとき，SolveValuesは常に公式を使う：

GeneratedParameters  (1)

SolveValuesは解を表現するのに新たなパラメータを導入することがある：

GeneratedParametersを使ってどのようにパラメータを生成するかを制御する：

InverseFunctions  (3)

デフォルトで，SolveValuesは逆関数を使う際に警告メッセージを出す：

NumericFunction属性があるシンボルについては，逆関数は使われない：

SolveValuesは，InverseFunctions->Trueのときは逆関数の警告メッセージを出力しない：

記号的な逆関数はすべての記号について使用される：

SolveValuesは，InverseFunctions->Falseのときは逆関数を使わない：

代数方程式を解く際に逆関数を使う必要はない：

以下では，逆関数を使う必要がないので，Reduceに基づいたメソッドが使われている：

MaxExtraConditions  (4)

デフォルトで，追加的な条件を必要とする解は生成されない：

パラメータが離散的な場合は例外である：

デフォルト設定のMaxExtraConditions->0では，条件を必要とする解は返されない：

MaxExtraConditions->1では，パラメータについて最大で1つの方程式を必要とする解が与えられる：

MaxExtraConditions->2のときは，パラメータについて最大で2つの方程式を必要とする解が与えられる：

最低数のパラメータ方程式を必要とする解を与える：

すべての解を与える：

デフォルトで，SolveValuesは連続パラメータについての不等式の条件を除去する：

MaxExtraConditions->Allとすると，SolveValuesはすべての条件を含むようになる：

MaxRoots  (4)

多項式の個の根のうちつを求める：

多項式系の個の根のうちつを求める：

超越系のつの根を求める：

系に記号パラメータが含まれている場合は，オプション値が無視される：

Method  (1)

デフォルトで，SolveValuesは逆関数を使って非多項式の複素方程式を解く：

Method->Reduceとすると，SolveValuesはReduceを使って完全開集合を求める：

Modulus  (1)

9を法とする整数上で方程式を解く：

Quartics  (3)

デフォルトで，SolveValuesは，記号的なパラメータが存在するときにのみ，方程式を累乗根で解くために一般的な公式を使う：

SolveValuesは，数値係数を持つ多項式については公式を使わない：

Quartics->Falseとすると，SolveValuesは決して公式を使わない：

Quartics->Trueとすると，SolveValuesは常に公式を使う：

VerifySolutions  (1)

SolveValuesは非等価変換を使って得た解を検証する：

VerifySolutions->Falseのときは，SolveValuesは解を検証しない：

VerifySolutions->Falseの際に返される解の中には正しくないものもある：

次は，正しい解を選ぶために高速の数値判定を使う：

次の場合は，数値判定が正しい解集合を与える：

WorkingPrecision  (1)

デフォルトで，SolveValuesは方程式の厳密解を求める：

100桁の数を使って解を計算する方が速い：

結果は厳密解の最初の100桁と一致する：

機械数を使った解はさらに速い：

結果は厳密解に極めて近い：

アプリケーション  (7)

二次方程式を解く：

円と放物線の交点を求める：

二次方程式のすべての根が等しくなる条件を求める：

Subresultantsを使ったメソッド：

量化記号の消去を使ったメソッド：

暗黙的な説明で与えられた空間曲線をプロットする：

空間曲線の{x,y}平面への射影をプロットする：

ピタゴラスの3数を求める：

ピタゴラスの3数の数列を求める：

10セント，23セント，37セントの切手を組み合せて2ドル27セントにする方法を求める：

IntegerPartitionsで同じタスクを行うことができる：

複素解析関数の200個の根を求める：

関数の複素プロット上に根を示す：

特性と関係  (15)

解はリストとして与えられ，方程式を満足する：

SolveValuesは，一変量の方程式については，解をその多重度に従って繰り返す：

代数方程式の解は，しばしばRootオブジェクトによって与えられる：

Nを使ってRootオブジェクトの数値近似を計算する：

Rootオブジェクトはパラメータを含むことがある：

Seriesを使ってRootオブジェクトの級数展開を計算する：

この級数は次数11までの方程式を満足する：

SolveValuesは解の値を与える：

Solveは置換規則で解を表す：

Reduceは等式と不等式の論理結合で解を表す：

SolveValuesは高速のヒューリスティックを使って超越方程式を解くが，解は正しくないかもしれない：

Reduceは，より遅いことが多いがすべての解と必要なすべての条件を求めるメソッドを使う：

FindInstanceを使って解の例を求める：

FindInstanceには，Reduceのように，不等式と領域指定を与えることができる：

DSolveを使って微分方程式を解く：

RSolveを使って漸化式を解く：

SolveAlwaysは複素方程式が常に真となるパラメータの値を与える：

ForAllを使って同じ問題を表し，SolveValues，Solve，Reduceを使ってそれを解くことができる：

Resolveは量化記号を消去するが，結果の量化記号がない系を解くことはおそらくしない：

Eliminateは複素方程式の系から変数を消去する：

以下はResolveを使って同じ問題を解く：

加えて，Reduce，Solve，SolveValuesも結果の方程式を解く：

は が各 について厳密に1つの解を持つときかつそのときに限って全単射である：

FunctionBijectiveを使って関数が全単射かどうかを判定する：

FunctionAnalyticを使って関数が解析かどうかを判定する：

解析的関数は閉じた有界領域で有限個の零点しか持たない：

SolveValuesは方程式 を満足する の陽関数を求める：

ImplicitDを使って陰的に定義された関数の導関数を求める：

考えられる問題  (9)

SolveValuesは一般解を与える．パラメータについての等式を含む解は与えない：

Reduceは，パラメータについての等式を必要とするものも含め，すべての解を与える：

SolveValuesはMaxExtraConditions->Allのときは非一般解も与える：

SolveValuesの結果は入力方程式の中にパラメータしか含まないものがあるかどうかに依存しない．次の2つの系は等しく，一般解は持たない：

MaxExtraConditionsを使って許可するパラメータ条件の数を指定する：

Exists量化記号を使ってパラメータaのある値について有効な解を求める：

SolveValuesは一般的に正しくもなく一般的に正しくなくもない解を消去しない：

この解はについては正しくについては正しくない：

SolveValuesは，超越方程式についてはすべての解を与えないかもしれない：

Reduceを使ってすべての解を得る：

SolveValuesは，Method->"Reduce"のときはReduceを使って解を求め，解の値を返す：

逆関数を使うとSolveValuesでいくつかの解をより速く得ることができる：

完全解を求めるのにはより時間がかかるかもしれず，解は大きくなるかもしれない：

次は，x==2が解となるような n の値を求める：

仮定の解釈はその構造的な特性に依存する．以下では，解は仮定によって制限されたパラメータ空間内の一般解である：

以下の数学的に等価の仮定は変数を解くことを含んでおり，したがって解くべき系の一部として扱われる：

入力が以下のように解釈されるので，一般解は存在しない：

解は方程式を満足するパラメータを必要とするので一般解ではない：

パラメータが離散集合に限定されると，一般的という概念があまりうまく定義されず，すべての解が返される：

一般に，入力方程式の可除特異点は有効な解とはみなされない：

しかし，解には自動簡約によって削除される可除特異点が含まれることがある：

における可除特異点は評価によって削除された：

以下では における可除特異点が方程式の前処理に使われたTogetherによって削除されている：

MaxRootsの値は数値係数を持つ系にしか使われない：

記号パラメータがあるとオプション値は無視される：

変数として与えられた式は，原子オブジェクトとして扱われ，その部分式の関数としては扱われない：

事実上，変数は，方程式が解かれる前に新しいシンボルに置き換えられる：

結果は以下のようになる：

Wolfram Research (2021), SolveValues, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2021), SolveValues, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2021. "SolveValues." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html.

APA

Wolfram Language. (2021). SolveValues. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_solvevalues, author="Wolfram Research", title="{SolveValues}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_solvevalues, organization={Wolfram Research}, title={SolveValues}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}