SymmetricMatrixQ

SymmetricMatrixQ[m]

如果 m 是对称矩阵，给出 True，否则给出 False.

更多信息和选项

  • 如果 m==Transpose[m] 成立，则矩阵 m 是对称的.
  • SymmetricMatrixQ 可用于符号矩阵和数字矩阵.
  • 可给出以下选项：
  • SameTest Automatic用来判断表达式是否相等的函数
    Tolerance Automatic近似数字时的容差
  • 对于精确矩阵和符号矩阵，选项 SameTest->f 表示若 f[mij,mkl] 的结果为 True，则认为元素 mij 和 mkl 相等.
  • 对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 规定可以近似认为所有 Abs[mij]≤t 的元素为零.
  • 对于 Abs[mij]>t 的元素，进行相等性比较时不考虑最后 位数字，其中，对于 MachinePrecision 矩阵， 是 $MachineEpsilon，对于 Precision 为 的矩阵为 .

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

检验 2×2 数值矩阵是否显式对称：

检验 3×3 符号矩阵是否显式对称：

范围  (10)

基本用法  (6)

检验一个实数机器精度矩阵是否对称：

检验实对称矩阵也是埃尔米特矩阵：

检验复矩阵是否对称：

复对称矩阵具有对称的实部和虚部：

检验一个精确矩阵是否对称：

使矩阵对称：

将 SymmetricMatrixQ 用于任意精度矩阵：

随机矩阵通常不是对称的：

将 SymmetricMatrixQ 用于符号矩阵：

当 时成为对称矩阵：

SymmetricMatrixQ 高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵  (4)

将 SymmetricMatrixQ 用于稀疏矩阵：

将 SymmetricMatrixQ 用于结构化矩阵：

用于 QuantityArray 结构化矩阵：

单位矩阵是对称的：

HilbertMatrix 为对称矩阵：

选项  (2)

SameTest  (1)

对于正实数 ，下述矩阵是对称的，但是 SymmetricMatrixQ 给出的结果为 False：

使用选项 SameTest 以得到正确答案：

Tolerance  (1)

生成一个实对称矩阵，其中，随机扰动为 10-14 级：

调整选项 Tolerance 使矩阵被认为是对称的：

矩阵和其转置矩阵的差的范数：

应用  (13)

生成对称矩阵  (4)

从对称函数 生成的任何矩阵都是对称的：

函数是对称的：

使用 Table 生成对称矩阵：

SymmetrizedArray 可以生成具有对称性的矩阵（和一般数组）：

使用 Normal 转换回普通矩阵：

检验从 GaussianOrthogonalMatrixDistribution 得出的矩阵是对称的：

从 CircularOrthogonalMatrixDistribution 绘制的矩阵是对称且为酉矩阵：

每个约旦矩阵都类似于一个对称矩阵. 由于任何方阵都类似于其约旦形式，这意味着任何方阵都类似于对称矩阵. 定义一个用于为特征值 生成 约旦块的函数：

例如，这里是特征值 的四维约旦矩阵：

定义一个函数，用于生成相应的复相似变换：

该矩阵是 乘以单位矩阵和 乘以向后单位矩阵的和：

那么 s(n).j(lambda,n).TemplateBox[{{s, (, n, )}}, Inverse] 是对称的，这说明约旦矩阵类似于对称矩阵：

确认矩阵是对称的：

对称矩阵的范例  (5)

函数的黑塞矩阵是对称的：

许多特殊矩阵是对称的，包括 FourierMatrix：

HadamardMatrix：

HankelMatrix：

和 HilbertMatrix：

可视化矩阵类型：

许多滤波器核矩阵是对称的，包括 DiskMatrix：

CrossMatrix：

DiamondMatrix：

可视化矩阵：

无向图的 AdjacencyMatrix 是对称的：

KirchhoffMatrix 也是一样：

可视化不同图的邻接矩阵和基尔霍夫矩阵：

一些统计量度是对称矩阵，包括 Covariance：

Correlation：

AbsoluteCorrelation：

对称矩阵的使用  (4)

正定实对称矩阵或度量 通过 定义内积：

验证 实际上是对称且正定矩阵：

正交化 TemplateBox[{}, Reals]^n 的标准基以找到一个正交基：

确认关于内积 的基是正交的：

转动惯量张量相当于旋转运动的质量. 例如，动能是 ，其中 代替质量 ，角速度 在公式 中代替线速度 . 可以用正定对称矩阵表示. 计算端点在原点和正坐标轴的四面体的转动惯量：

验证矩阵是否对称：

如果其角速度为 ，则计算动能：

只要 不为零，动能就是正的，表明矩阵是正定的：

确定一个稀疏矩阵是否是结构对称的：

矩阵不是对称的：

但在结构上是对称的：

对对称矩阵使用不同的方法，从失效转移到一般方法：

构建用于测试的实值矩阵：

对于非对称矩阵 m，函数 myLS 只使用高斯消元法：

对于对称不定矩阵 ms，尝试 Cholesky 并继续进行高斯消元：

对于对称正定矩阵 mpd，尝试 Cholesky 在这里是成功的：

属性和关系  (14)

对于任何不是矩阵的 x，SymmetricMatrixQ[x] 都会返回 False：

如果 mTranspose[m]，则矩阵是对称的：

实值对称矩阵是埃尔米特矩阵：

但复值对称矩阵可能不是：

使用 Symmetrize 计算矩阵的对称部分：

这等于 m 和 Transpose[m] 的平均值：

任何矩阵都可以表示为其对称部分和反对称部分之和：

使用 AntisymmetricMatrixQ 检验矩阵是否为反对称：

如果 是具有实数项的对称矩阵，则 是反埃尔米特矩阵：

实对称 m 的 MatrixExp[I m] 是酉矩阵：

实值对称矩阵始终是正规矩阵：

复值对称矩阵不必是正规的：

实值对称矩阵具有所有实特征值：

使用 Eigenvalues 求特征值：

注意复值对称矩阵可能同时具有实数和复数特征值：

实对称 m 的 CharacteristicPolynomial[m,x] 可以分解为线性项：

实值对称矩阵有一组完整的特征向量：

因此，其必须是可对角化矩阵：

使用 Eigenvectors 求特征向量：

请注意，复值对称矩阵不需要具有以下属性：

对称矩阵的逆是对称的：

对称矩阵的矩阵函数是对称的，包括 MatrixPower：

MatrixExp：

以及任何可使用 MatrixFunction 表示的单变量函数：

SymmetricMatrix 可用于明确构建对称矩阵：

该矩阵满足 SymmetricMatrixQ：

可能存在的问题  (1)

SymmetricMatrixQ 对实值矩阵和复值矩阵都使用定义 TemplateBox[{m}, Transpose]=m：

这些复数矩阵不必是正规矩阵或具有自伴（实对称）矩阵的许多性质：

HermitianMatrixQ 检验自伴矩阵的条件 TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]=m：

或者，检验项是否为实数以限制为实数对称矩阵：

巧妙范例  (1)

包括 FourierMatrix 在内的对称矩阵的图像：

Wolfram Research (2008)，SymmetricMatrixQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricMatrixQ.html （更新于 2014 年）.

文本

Wolfram Research (2008)，SymmetricMatrixQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricMatrixQ.html （更新于 2014 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "SymmetricMatrixQ." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricMatrixQ.html.

APA

Wolfram 语言. (2008). SymmetricMatrixQ. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricMatrixQ.html 年

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