FindFit

FindFit[data,expr,pars,vars]

求出参数 pars 的数值，使 expr 作为关于 vars 的函数给出对 data 最佳拟合.

FindFit[data,{expr,cons},pars,vars]

在带参量的约束条件 cons 下，求最佳拟合.

更多信息和选项

data 可以采用形式 {{x₁,y₁,…,f₁},{x₂,y₂,…,f₂},…}，其中坐标 x, y, … 的个数等于列表 vars 中变量的个数.
data 也可以采用形式 {f₁,f₂,…}，假定单坐标取值 1、2、….
FindFit 返回一个替换 par₁、par₂、… 的列表.
当 pars 和 vars 都为数值时，则表达式 expr 必定产生一个数值.
表达式 expr 可以线性或非线性地依赖于 par_i.
在线性情况下，FindFit 求出全局最优拟合.
在非线性情况下，FindFit 通常求出局部最优拟合.
FindFit[data,expr,{{par₁,p₁},{par₂,p₂},…},vars] 开始搜索一个具有 {par₁->p₁,par₂->p₂,…} 的拟合.
在默认的情况下，FindFit 求出一个最小平方拟合.
NormFunction->f 选项指定范式 f[residual] 应该被最小化.
约束条件 cons 可以包含方程、不等式或它们的逻辑组合.
可以给出以下选项：

AccuracyGoal	Automatic	搜索的精确度
EvaluationMonitor	None	当计算 expr 值时，运行的表达式
FitRegularization	None	为模型 pars 的正则化
Gradient	Automatic	expr 的梯度分量列表
MaxIterations	Automatic	使用的最大迭代次数
Method	Automatic	所使用的方法
NormFunction	Norm	最小化的范式
PrecisionGoal	Automatic	搜索的精度
StepMonitor	None	计算表达式时的步长
WorkingPrecision	Automatic	内部计算采用的精度

AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 的默认设置是 WorkingPrecision/2.
AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 的设置指定返回参数值的位数和 NormFunction 的值.
当 NormFunction->f 且 FitRegularization->rfun，Fit 找到最小化 pars normf[{expr(pars,x₁,y₁,…)-f₁,…}]+rfun[pars] 的 pars 值.
NormFunction 的设置按以下形式给出：

	f	应用于残差的函数 f
	{"HuberPenalty",α}	每个分量的 Huber 惩罚函数的和
	{"DeadzoneLinearPenalty",α}	每个分量的死区线性惩罚函数之和

FitRegularization 的设置可以是以下格式：

	None	无正则化
	rfun	rfun[a] 的正则化
	{"Tikhonov", λ}	的正则化
	{"LASSO",λ}	的正则化
	{"Variation",λ}	$lambda\|\|TemplateBox[{Differences, paclet:ref/Differences}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}][a]\|\|^2$ 的正则化
	{"TotalVariation",λ}	$lambda\|\|TemplateBox[{Differences, paclet:ref/Differences}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}][a]\|\|_1$ 的正则化
	{"Curvature",λ}	$lambda\|\|TemplateBox[{Differences, paclet:ref/Differences}, RefLink, BaseStyle -> {2ColumnTableMod}][a,2]\|\|^2$ 的正则化
	{r₁,r₂,…}	带有来自 r₁,… 和项的正则化

FindFit 将继续计算，直到 AccuracyGoal 或 PrecisionGoal 指定的目标达到.
Method 的通常设置包括 "ConjugateGradient"、"PrincipalAxis"、"LevenbergMarquardt"、"Newton" 和 "QuasiNewton"，默认设置是 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

求出素数列表的非线性拟合：

求出参数、和的最佳拟合：

计算拟合函数值：

范围 (7)

简单指数拟合 (3)

对指数衰变模型进行数据拟合：

所得的模型函数：

利用模型显示数据：

从响应中分离时间：

根据余差判断模型是否较好拟合：

对于指数衰变模型的数据，采用基本对数的线性拟合：

指数模型的对数是一个数据指数的线性模型：

指数模型由对数的模型的取幂形成：

在微分方程中，指数拟合作为参数：

模型函数是微分方程的解：

使用缓存速度更快：

约束条件和起始值 (2)

求出在约束条件下的拟合：

拟合为正幅值和频率在 1 和 2 之间的模型：

比较拟合模型和数据：

余差显示出一个模式，表明频率约束太严格：

给参数一些初值，以获得更好的拟合：

搜索所有以 1 开始的参数：

搜索参数 c 更好的起始值：

比较两个拟合的效果：

多元数据 (2)

在二维空间中，对数据进行曲面拟合：

从一个近似的峰值位置开始，求出拟合：

显示数据的拟合曲面：

在四维空间中，对数据进行模型拟合：

余差与添加到数据上的随机性，在尺度上是相当的：

选项 (7)

EvaluationMonitor (1)

统计带有数值参数的模型的计算次数：

Gradient (1)

指定模型的梯度，避免奇点移动引起的问题：

当 Sinc 的导数作为一个普通公式给出时，符号导数 FindFit 运行错误：

当，数据有一个点，则当，梯度有一个奇点：

指定一个有限的差值，避免奇点的移动：

显示拟合数据：

MaxIterations (1)

当收敛较慢，增加 MaxIterations 可能收敛于最佳拟合：

默认情况下，收敛不能达到：

采用 1000 次迭代时，达到收敛：

Method (1)

用 Method->NMinimize 彻底搜索全局极小值：

求出一个局部极小值：

搜索一个全局极小值：

比较两个拟合的效果（全局的最佳拟合用红色显示）：

NormFunction (1)

默认是求最佳的最小平方拟合：

用范式替代：

StepMonitor (1)

显示参数空间的步长来对实验数据进行 Michaelis–Menten模型拟合：

一个生化酶反映速率的实验数据：

显示搜索过程中参数如何演化：

WorkingPrecision (1)

采用较高的 WorkingPrecision 可以获得更高精度的参数估计：

应用 (7)

数学数据 (2)

对一列斐波那契数进行拟合：

底数近似黄金比例：

产生带有噪音的数据：

拟合数据：

实验数据 (3)

确定计算的近似复杂度：

对一个 FFT 的复杂度进行理论模型拟合：

显示时间数据，以及在一个对数-对数图线中的拟合：

拟合一个模型实验数据的润滑粘度：

润滑粘度的模型可以作为一个关于温度和压力/ 的函数：

设置压力刻度，提高模型的条件：

求出刻度数据的最佳拟合参数：

显示尺度缩放的实验数据的拟合图线：

对 n 正戊烷与异戊烷的异构率的实验数据进行模型模拟：

该比值的非线性模型函数，自变量为氢、n 正戊烷及异戊烷：

求出以适当大小开始的满足最佳拟合的参数：

微分方程 (2)

求给出最佳拟合的一个微分方程模型的参数：

定义一个模型，使得在所有值下参数的解重复使用：

求出拟合，其公差与 ODE 解的精度相符：

显示拟合模型的数据和余差：

求出一个 KdV 方程的非孤子初始条件分解成两个孤子：

初始波分解成两个独立的波：

用 NDSolve 求解 PDE，获得空间网格：

最后的离散解：

具有不同速度的两个孤子的模型：

根据图形的离散解，求出拟合的初始条件估计：

绘制在中间时刻的两个孤子模型和余差：

属性和关系 (6)

FindFit 给出参数估计：

NonlinearModelFit 允许提取拟合的其他信息：

提取参数估计：

提取其他结果和诊断信息：

对于线性模型，Fit 等于 FindFit，并使用 LeastSquares：

用 Fit，设置基为 {1,x,x²}：

这等价于 FindFit，其模型函数的基是一个线性组合：

建立一个设计矩阵，用 LeastSquares 求出系数：

LinearModelFit 拟合线性模型，并提供额外的拟合结果：

FindFit 实际上使用 FindMinimum 最小化余差函数的范式：

余差是响应和模型预计之间的差异：

默认情况下，FindFit 给出符合正态分布的结果：

LogitModelFit 假定二项分布响应：

拟合是不相同的：

对于 ProbitModelFit 也是如此：

GeneralizedLinearModelFit 允许二项式和其他分布结构.

模拟伽玛分布的响应：

与正态分布响应的结果相比：

FindFit 将 TimeSeries 的时间戳作为变量使用：

缩放时间戳，并且重新拟合：

求数值的拟合：

FindFit 对多路径 TemporalData 分别作用：

可能存在的问题 (1)

起始值 (1)

好的初始值对获得一个合适的拟合很必要：

求出初始值为 1 的拟合，其局部极小值与正确值差异很大：

通常情况下，较好的初始值对于获得较好的拟合是必要的：

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