LaplaceTransform

LaplaceTransform[f[t],t,s]

変数 t における f[t]の記号ラプラス変換を変数 s における F[s]として与える．

LaplaceTransform[f[t],t,]

数値 における数値ラプラス変換を与える．

LaplaceTransform[f[t1,…,tn],{t1,…,tn},{s1,…,sn}]

f[t1,…,tn]の多次元ラプラス変換を与える．

詳細とオプション

  • ラプラス変換は，微分方程式および偏微分方程式を代数方程式に変換して解き，解に逆変換し直す際にしばしば用いられる．
  • ラプラス変換は，制御理論と信号処理においても，伝達関数・伝達行列の形で線形系を表現・操作する方法として広く使われている．つまり，ラプラス変換とその逆変換は時間領域と周波数領域の間の変換手段なのである．
  • 関数 のラプラス変換は， で定義される．
  • 多次元ラプラス変換は で与えられる．
  • 第3引数の s が数値として与えられると，積分は数値メソッドで計算される．
  • 漸近ラプラス変換はAsymptoticを使って計算できる．
  • のラプラス変換は，半平面 において s の複素数値についてのみ存在する．
  • 積分の下限はに設定されるので，ディラックのデルタ関数 のラプラス変換は1に等しくなる． »
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • AccuracyGoalAutomatic目的とする絶対確度の桁数
    Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditions Falseパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    MethodAutomatic使用するメソッド
    PerformanceGoal$PerformanceGoal最適化するパフォーマンスの局面
    PrecisionGoalAutomatic目的精度の桁数
    PrincipalValueFalseコーシー(Cauchy) 主値を求めるかどうか
    WorkingPrecisionAutomatic内部計算精度
  • GenerateConditions"ConvergenceRegion"を使ってラプラス変換の収束領域を得る．
  • TraditionalFormでは，LaplaceTransformは を使用して出力される． »

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (4)

関数のラプラス変換を計算する：

区分関数を定義する：

そのラプラス変換を計算する：

単一の点における変換を計算する：

多変量関数のラプラス変換を計算する：

多変量区分関数を定義する：

そのラプラス変換を計算する：

スコープ  (67)

基本的な用法  (4)

関数の記号パラメータ s についてのラプラス変換：

三角関数のラプラス変換：

パラメータ s の数値についてラプラス変換を評価する：

TraditionalFormによる表示：

初等関数  (13)

ベキ関数のラプラス変換：

平方根関数：

多項式のラプラス変換：

指数関数：

指数関数と線形関数の積：

三角関数を含む式：

双曲線関数を含む式：

指数関数と線形関数の比：

正弦関数と線形関数の比：

初等関数の合成：

対数関数：

対数関数とベキ関数の積：

対数関数の平方：

特殊関数  (10)

誤差関数と平方根関数の合成のラプラス変換：

ベッセル(Bessel)関数：

ベッセル関数を含む積：

正弦積分関数：

ラゲール(Laguerre)多項式：

エアリー(Airy)関数：

チェビシェフ(Chebyshev)多項式：

シュトルーベ(Struve)関数：

フレネル(Fresnel)関数：

ガンマ関数：

超幾何関数：

区分関数  (9)

区分関数のラプラス変換：

正弦関数を半周期に制限する：

左側が切り取られた指数関数：

三角関数：

左側が切り取られた多項式関数：

ランプ：

UnitStep：

UnitStep関数と余弦関数の積：

Floorのラプラス変換：

周期関数  (5)

SquareWaveのラプラス変換：

TriangleWave：

SawtoothWave：

周期 の全波整流関数：

整流波：

一般化された関数  (5)

HeavisideThetaのラプラス変換：

DiracDelta：

DiracDeltaの導関数：

HeavisideLambda：

HeavisidePi：

多変量関数  (9)

定数の二変量ラプラス変換：

指数関数：

ベキ関数：

BesselJ：

平方根：

余弦関数と平方根関数の合成：

多変量ベキ関数のラプラス変換：

余弦：

対数：

形式特性  (6)

ラプラス変換は線形演算である：

のラプラス変換は で評価された のラプラス変換である：

一次導関数のラプラス変換：

二次導関数のラプラス変換：

単項式との積のラプラス変換：

ラプラス変換は方程式に縫い込まれる：

数値評価  (3)

ラプラス変換を単一の点で計算する：

ラプラス変換は記号的に計算することもできる：

次に，これを の特定の値について評価する：

ラプラス変換を数値のみを使ってプロットする：

関数によってはラプラス変換が記号的に評価できないものもある：

ラプラス変換を数値的に評価してプロットする：

多変量ラプラス変換を平面上の単一の点で計算する：

非整数階微積分  (3)

MittagLefflerE関数のラプラス変換：

領域におけるComplexPlot：

時間領域への逆ラプラス変換：

パラメータを含むMittagLefflerE関数のラプラス変換：

時間領域への逆ラプラス変換：

CaputoD非整数階導関数のラプラス変換：

正弦関数に適用する：

これを正弦関数のCaputoD導関数のLaplaceTransformと比較する：

オプション  (4)

Assumptions  (1)

Assumptionsを使ってパラメータの範囲を指定する：

GenerateConditions  (1)

GenerateConditions->Trueを使って，いつ結果が有効になるかについてパラメータの条件を得る：

Principal Value  (1)

以下の関数のラプラス変換は における特異点のために定義できない：

PrincipalValueを使って積分のコーシー主値を入手する：

Working Precision  (1)

WorkingPrecisionを使って任意精度の結果を得る：

アプリケーション  (12)

常微分方程式  (5)

ラプラス変換を使って微分方程式を解く：

ラプラス変換について解く：

逆変換を求める：

解をプロットする：

DSolveを使って解を直接求める：

次の微分方程式を解く：

ラプラス変換について解く：

逆変換を求める：

解をプロットする：

RL回路を解いて電流 を求める：

DSolveValueで確認する：

RL回路についてのグリーン(Green)の関数：

グリーンの関数を使ってRL回路を解く：

常微分方程式系を解く：

非整数階微分方程式  (3)

ラプラス変換を使って非整数階微分方程式を解く：

ラプラス変換を解く：

逆変換を求める：

解をプロットする：

DSolveを使って解を直接求める：

以下の非整数階微積分方程式を解く：

ラプラス変換を解く：

逆変換を求める：

DSolveを使って解を直接求める：

以下の方程式は1.9次の非整数階調和振動子を表している：

ラプラス変換について解く：

逆変換を求める：

解をプロットする：

DSolveを使って解を直接求める：

積分評価  (2)

次の積分を計算する：

ラプラス変換を計算し，ラプラス変換と積分の順序を逆にする：

について積分を行う：

InverseLaplaceTransformを使ってもとの積分を得る：

結果を確かめる：

ベッセル関数を含む積分：

変数 を変更し，補助変数 を導入する：

ラプラス変換を適用し，ラプラス変換と積分の順序を逆にする：

についての積分を行う：

InverseLaplaceTransformを使って を得る：

もとの積分は と等しい：

結果を確かめる：

その他のアプリケーション  (2)

級数展開を使ってラプラス変換を計算する：

奇数の係数は消える：

変換された級数の総和はRegularizationで求められる：

LaplaceTransformを使って結果を直接確かめる：

級数展開を使ったSincのラプラス変換：

奇数の係数は消える：

結果を確かめる：

特性と関係  (3)

Asymptoticを使って漸近近似を計算する：

LaplaceTransformとInverseLaplaceTransformは互いに逆関数である：

数値近似にはNIntegrateを使う：

NIntegrateはラプラスパラメータ s の数値の変換を計算する：

考えられる問題  (1)

もとの形を回復するためには簡約が必要かもしれない：

おもしろい例題  (2)

MeijerGを使って行われたラプラス変換(LaplaceTransform)：

基本的なラプラス変換の表を作成する：

Wolfram Research (1999), LaplaceTransform, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html （2023年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1999), LaplaceTransform, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html （2023年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1999. "LaplaceTransform." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html.

APA

Wolfram Language. (1999). LaplaceTransform. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_laplacetransform, author="Wolfram Research", title="{LaplaceTransform}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_laplacetransform, organization={Wolfram Research}, title={LaplaceTransform}, year={2023}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/LaplaceTransform.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}