RegionMeasure

RegionMeasure[reg]

给出区域 reg 的测度.

RegionMeasure[reg,d]

给出区域 reg 的 d 维测度.

RegionMeasure[{x₁,…,x_n},{{t₁,a₁,b₁},…,{t_k,a_k,b_k}}]

给出参数化公式的 k-测度，它的直角坐标 x_i 是 t_j 的函数.

RegionMeasure[{x₁,…,x_n},{{t₁,a₁,b₁},…,{t_k,a_k,b_k}},chart]

将 x_i 解释为指定坐标图中的坐标.

更多信息和选项

RegionMeasure 又被称为计数（零维），长度（一维），面积（二维），体积（三维）和勒贝格测度.
范例（行对应于嵌入维度和列对应于几何维度）：

如果区域 reg 测度 d≥0，那么用 d-维测度.
零维测度对区域内的点进行计数.
在 RegionMeasure[x,{{t₁,a₁,b₁},…,{t_k,a_k,b_k}}] 中，如果 x 是一个标量，RegionMeasure 返回的是超曲面 {t₁,…,t_k,x} 在 k+1 维的测度.
RegionMeasure 的第三个参数中的坐标图可按 CoordinateChartData 的第一个参数那样由三个参数 {coordsys,metric,dim} 来指定. 也可以使用把 dim 省略掉的简短形式.
可以指定下列选项：

AccuracyGoal	Infinity	寻求绝对精度的数字
Assumptions	$Assumptions	对参数所做的假设
GenerateConditions	Automatic	是否产生参数条件
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	尝试优化的性能方面
PrecisionGoal	Automatic	寻求精度的数字
WorkingPrecision	Automatic	内部计算时使用的精度

假定积分的符号式极限为真并有序. 假定坐标图的符号式参数的范围由 CoordinateChartData 的属性 "ParameterRangeAssumptions" 给定.
RegionMeasure 可用于 GeometricScene 中的符号区域.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (6)

RegionMeasure 对应于零维区域的计数：

RegionMeasure 对应于一维区域的曲线长度：

RegionMeasure 对应于二维区域的表面积：

RegionMeasure 对应于三维区域的体积：

蝴蝶结图案的面积：

用圆柱坐标表示的圆柱的体积：

范围 (27)

特殊区域 (10)

Point 的测度对应于计数：

点可用在任意数目的维度：

Line 的测度对应于弧长：

线可用在任意数目的维度：

Rectangle 可用在二维且测度对应于面积：

Cuboid 可用在任意数目的维度：

Simplex 可以对应于点，线或二维三角形：

单纯形可用在任意数目的维度：

在维度的标准单位单纯形的测度：

Polygon 表示一个面积：

在三维：

Disk 可用在二维：

Ball 可用在任何维度并且测度是广义体积：

在维度的单位球体的测度：

Disk 作为一个椭圆可用在二维：

Ellipsoid 可用在任何维度：

Circle 可用在二维：

Cylinder 可用在三维：

Cone 可用在三维：

公式区域 (2)

圆盘的测度表示为 ImplicitRegion：

圆柱体积：

圆盘的测度表示为 ParametricRegion：

使用圆盘的有理参数化：

圆柱体积：

网格区域 (2)

在二维的 MeshRegion 的测度：

在三维：

BoundaryMeshRegion 的测度：

在三维：

导出区域 (3)

RegionIntersection 的测度：

TransformedRegion 的测度：

RegionBoundary 的测度：

地理区域 (2)

地理实体的边界多边形的度量：

Polygon 与 GeoPosition 一起使用所得的区域：

Polygon 与 GeoGridPosition 一起使用所得区域的度量：

参数化公式 (8)

圆弧的长度：

极坐标图中长度有限的无穷曲线：

主半径为5，次半径为3的环面的表面积：

内部的体积：

镶嵌在四维空间中的“扁平环面”的面积：

镶嵌在5维空间中的4维球面的超体积：

抛物面函数图形覆盖在单位超立方体上所构成的形体的超体积:

在单位球面的极点上来回“弹跳”的曲线的长度：

球面上立体坐标系中单位正方形的面积：

选项 (4)

Assumptions (2)

隐式区域可表示椭圆和双曲线：

加上假设只能给出椭圆的长度：

半长轴为和的椭圆的面积：

假定半长轴为正可简化答案：

WorkingPrecision (2)

用机器算术计算弧长：

用30位精度计算面积：

应用 (13)

点 (2)

对点集，用计数测度. 每个点给测度贡献1：

对于恒定点质量，将测度乘以得到总质量：

对于变化的点质量函数，用 Integrate：

曲线 (4)

函数曲线的长度：

隐式曲线的长度：

在三维：

找到皮亚诺曲线的长度的公式：

找到沿着有恒定电荷密度的电线的总电荷：

对于变化的密度，用 Integrate：

曲面 (2)

函数面的面积：

矩形区域的总质量：

有均匀质量密度 :

有由给出的变化质量密度，用 Integrate:

实体 (3)

有恒定密度的 Ball 的总面积：

对于一个变化密度函数，用 Integrate：

找到一个 Cone 的乙醇的质量：

乙醇的密度：

圆锥的体积：

在圆锥里的乙醇的质量：

找到由定义的不均匀质量密度 Cylinder 的质量：

圆柱的密度：

圆柱的体积：

圆柱的质量：

高维区域 (2)

导出一个维单位球体的区域测度的公式：

三维超曲面的体积：

属性和关系 (10)

区域 ℛ 的 RegionMeasure 由积分给出：

ArcLength 是一维区域的 RegionMeasure 的一种特殊情况：

Area 是二维区域的 RegionMeasure 的一种特殊情况：

Volume 是三维区域的 RegionMeasure 的一种特殊情况：

测度由 RegionDimension 决定，包括维度0的计数：

维度1的长度：

维度2的面积：

维度3的体积：

对包含混合维度的区域，RegionDimension 给出最大维度：

维度为1，所以这是计算长度：

RegionMeasure[x,{t},c] 等价于 ArcLength[x,t,c]：

RegionMeasure[x,{s,t},c] 等价于 Area[x,s,t,c]：

RegionMeasure[x,{s,t,u},c] 等价于 Volume[x,s,t,u,c]：

RegionCentroid 等同于 Integrate[p,p∈ℛ]/m 且 m=RegionMeasure[ℛ]：

可能存在的问题 (3)

RegionMeasure 对离散点用计数测度：

这指明应该用二维勒贝格测度：

参数化形式以参数化为基础，并计入多重覆盖（count multiple coverings）：

用区域方法计算图像的测度：

当无法算出精确答案时，RegionMeasure 使用机器算术：

巧妙范例 (1)

找到康托尔集的测度：

计算最初六个迭代的测度：

找到迭代 k 的长度：

极限内的测度：

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RegionMeasure

更多信息和选项

范例

基本范例 (6)

范围 (27)

特殊区域 (10)

公式区域 (2)

网格区域 (2)

导出区域 (3)

地理区域 (2)

参数化公式 (8)

选项 (4)

Assumptions (2)

WorkingPrecision (2)

应用 (13)

点 (2)

曲线 (4)

曲面 (2)

实体 (3)

高维区域 (2)

属性和关系 (10)

可能存在的问题 (3)

巧妙范例 (1)

参见

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