Solve

Solve[expr,vars]

试图求解以 vars 为变量的方程组或不等式组 expr.

Solve[expr,vars,dom]

在定义域 dom 上求解. dom 的常用选择为 Reals、Integers 和 Complexes.

更多信息和选项

  • expr 可以为下述形式的任意逻辑组合：
  • lhs==rhs方程
    lhs!=rhs不等方程
    lhs>rhs 或者 lhs>=rhs 不等式
    expr∈dom定义域说明
    {x,y,…}∈reg区域指定
    ForAll[x,cond,expr]全称量词
    Exists[x,cond,expr]存在量词
  • Solve[{expr1,expr2,…},vars] 等价于 Solve[expr1&&expr2&&…,vars].
  • 可以指定一个单变量或一个变量列表.
  • Solve 以下列格式的规则给出解：
  • {}无解
    {{x->solx,y->soly,…},…}几个解
    {{}}解集是全维度的
  • 当指定了一个单变量且一个方程的一个特定根具有大于 1 的重数时，Solve 给出对应解的多个复件.
  • Solve[expr,vars] 缺省假设以代数形式出现在不等式中的量为实数，而其他所有量为复数.
  • Solve[expr,vars,dom] 将所有变量和参数限定在定义域 dom 内.
  • 如果 dom 为 Reals，或是它的一个子集，例如 Integers 或 Rationals，则所有常数和函数值也被限定为实数.
  • Solve[expr&&vars∈Reals,vars,Complexes] 求解得到的是变量的实数值，但函数值可以为复数.
  • Solve[expr,vars,Integers] 在整数域上求解丢番图方程.
  • Solve[…,x∈reg,Reals] 把 x 限制在区域 reg 中. x 的不同坐标可以使用 Indexed[x,i] 指代.
  • expr 中既不含 vars、也不含其他代数变量的代数变量被视为独立参数.
  • Solve 处理的主要是线性和多项式方程.
  • 当 expr 仅涉及实数或复数域上的多项式方程和不等式时，Solve 原则上可以直接求解 vars.
  • 当 expr 涉及到超越条件或整数定义域时，Solve 往往将在结果中引入额外参数.
  • Solve 可以对整数域上所有线性方程和不等式的解进行显式表示，并且可以求解文献中列出的大部分丢番图方程.
  • 当 expr 仅涉及实数或复数域上的多项式条件时，Solve[expr,vars] 将恒能进行量词消去.
  • Solve 仅给出通解. 仅当连续参数满足方程时才有效的解被去除. 在一定条件下才有效的其他解作为ConditionalExpression 对象表示.
  • ConditionalExpression 解所包含的条件可以涉及不等式、Element 陈述、非连续参数的等式与不等式，以及具有全维解的方程. 关于连续参数及变量的不等式与 NotElement 条件被舍掉.
  • Solve 可能使用非等价变换来求超越方程的解，因此它可能找不到某些解，并且可能无法针对求出的解的有效性给出确切的条件. 如果发生这种情况，将发出错误消息.
  • Solve 使用特殊的有效技术来处理具有近似数值系数的线性方程组.
  • 可以给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的假设
    Cubics Automatic是否使用显式根式求解所有三次方程
    GeneratedParameters C如何命名生成的参数
    InverseFunctions Automatic是否使用符号式反函数
    MaxExtraConditions 0在连续参数上所允许的额外等式条件数
    MaxRoots Infinity返回的根的最大数目
    Method Automatic应该使用何种方法
    Modulus 0为整数假定的模数
    Quartics Automatic是否使用显式根式求解所有四次方程
    VerifySolutions Automatic是否验证由非等价变换获得的解
    WorkingPrecision Infinity计算中使用的精度
  • 当 MaxExtraConditions->Automatic 时，仅包含使连续参数的等式条件数最少的解.
  • 当 MaxExtraConditions->All 时，将给出需要参数的任意条件的解，并且所有条件被包括.
  • 当 MaxExtraConditions->k 时，仅包含使连续参数的等式条件数至多为 k 的解.
  • 当 Method->Reduce 时，Solve 仅采用等价变换，并且得到所有解.
  • Solve[eqns,…,Modulusm] 在以 m 为模的整数域上求解方程. 当 Modulus->Automatic 时，Solve 将力图找到使方程具有解的最大模数.

范例

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基本范例  (5)

求解一个二次方程：

求解关于 和 的联立方程组：

在实数上求解方程：

在正整数上求解方程：

在几何区域内求解方程：

范围  (85)

基本用途  (6)

解以替换列表给出：

使用 ReplaceAll (/.) 用 替换解：

检查解是否满足方程：

Solve 使用 {} 表示空解或者没有解：

Solve 使用 {{}} 表示满足方程的通解或者所有点：

在特定域上求解：

求解具有涉及符号参数的系数的方程：

绘制 y 的解的实数部分，以参数 a 的函数表示:

在实数上方程的解需要参数上的条件：

把 x 用解替换，并且简化结果：

使用 Normal 删除条件：

在正整数上方程的解需要引入新参数：

列出前10个解：

单变量复数方程  (15)

多项式方程用根式可解：

如果想使用通用公式求解三次方程式，可设定 CubicsTrue：

默认情况下，Solve 使用 Root 对象表示系数为数字的一般三次方程的解：

一般的多项式方程：

有重根的多项式方程：

求出高次多项式的五个根：

有符号系数的多项式方程：

代数方程：

超越方程：

Solve 无法在这里找到所有解：

找到三个解：

有界区域上的单变量初等函数方程：

有界区域上的单变量正则函数方程：

这里，Solve 找到了一些解，但不能证实再无其他解：

复平面上一个垂直条纹的纯虚周期的方程：

找到无限制复数方程的指定数量的根：

符号函数：

非解析复数方程：

多变量复数方程组  (12)

线性方程组：

有符号系数的线性方程：

线性方程的欠定组：

无解的线性方程：

多项式方程组：

找出多项式方程组的一万亿个根中的五个：

有符号系数的多项式组：

代数方程：

超越方程：

找到超越方程的指定数量的解：

在边界盒上对解析方程组取平方：

非解析方程：

单变量实数方程  (13)

多项式方程：

具有重根的多项式方程：

具有符号系数的多项式方程：

代数方程：

分段方程：

超越方程，可以反函数求解：

超越方程，可用特殊零函数求解：

超越不等式，可用特殊零函数求解：

指对数方程：

高次离散多项式方程：

涉及高次根式的代数方程：

涉及非有理实数幂的方程：

具有双根的方程：

Tame 初等函数方程：

有界区间上的初等函数方程：

有界区间上的正则函数方程：

实数域上的周期型初等函数：

多变量实数方程组和不等式组  (10)

线性方程组：

多项式方程组：

量化的多项式方程组：

代数方程及不等式组：

分段方程组：

超越方程及不等式组，可用反函数求解：

第一个变量为指数对数形式、其他变量为多项式形式的方程及不等式组：

量化的方程组：

第一个变量为初等有界形式、其他变量为多项式形式的方程及不等式组：

量化的方程组：

对于第一个变量方程组解析且有界，对于其他变量则为多项式：

量化的方程及不等式组：

在有界区域上对解析方程组取平方：

丢番图方程  (11)

线性方程组：

线性方程及不等式组：

单变量多项式方程：

二元二次方程：

Thue 方程：

平方和方程：

勾股方程：

有界方程及不等式组：

无解高次方程组：

超越丢番图系统：

同余多项式方程组：

模方程  (4)

线性方程组：

单变量多项式方程：

多项式方程及不等式组：

量化多项式方程及不等式组：

有限域上的方程  (3)

一元方程：

线性方程组：

多项式方程组：

变量定义域混合的方程及不等式组  (2)

混合的实数和复数变量：

混合的实数和整数变量：

带有几何区域约束条件的方程组  (9)

求解在二维空间中的特殊区域：

绘制图线：

求解在三维空间中的特殊区域：

绘制图线：

定量系统：

隐式定义的区域：

使用参数定义的区域：

导出区域：

绘制图线：

在区域的笛卡尔积上消去量词：

取决于参数的区域：

答案取决于参数值 :

使用 指定 是 中的一个向量：

在这种情况下， 是 中的一个向量：

推广和延伸  (1)

求解所有变量：

选项  (28)

Assumptions  (4)

用 Assumptions 指定参数的条件：

默认情况下，不会给出需要参数满足等式的解：

如果给定关于参数的等式作为假设条件，则可返回解：

含有要求解的变量的假设条件被视为要求解的方程组的一部分：

不使用 Assumptions 的等价语句：

如果参数被假定属于一个离散集合，则返回涉及任意条件的解：

Cubics  (4)

默认情况下，Solve 仅在出现符号参数的情况下，才使用通用公式求三次方程的根式解：

对于具有数字系数的多项式，Solve 不使用公式：

如果设置 Cubics->False，Solve 将不会使用公式：

如果设置 Cubics->True，Solve 则总是使用公式：

在不可约情况下，不可约三次方程的实根的代数形式仍然包含 I：

机器精度的数值计算给出了假的虚部：

任意精度的计算也给出了虚部：

使用默认设置 CubicsAutomatic，即可得到明确的实数结果：

GeneratedParameters  (1)

Solve 可能引入新的参数以表示解：

使用 GeneratedParameters 来控制参数的生成方式：

InverseFunctions  (3)

在缺省情况下，Solve 用反函数但输出警告信息：

对于具有 NumericFunction 属性的符号，不使用符号式反函数：

设置 InverseFunctions->True，Solve 不输出反函数的警告信息：

符号式反函数用于所有符号：

设置 InverseFunctions->False，Solve 不使用反函数：

求解代数方程不需要使用反函数：

此处使用一种基于 Reduce 的方法，不需要使用反函数：

MaxExtraConditions  (4)

缺省时，不生成需要附加条件的解：

参数离散时除外：

缺省设置 MaxExtraConditions->0 不给出需要条件的解：

MaxExtraConditions->1 给出的解需要至多一个方程来确定参数：

MaxExtraConditions->2 给出的解需要至多二个方程来确定参数：

给出的解需要的参数方程数最少：

给出全部解：

缺省时，Solve 舍掉关于连续参数的不等式条件：

当设置为 MaxExtraConditions->All 时，Solve 包括所有条件：

MaxRoots  (4)

求多项式的 个根中的 个根：

求多项式方程组的 个根中的 个根：

求超越方程组的 个解：

当系统包含符号参数时，选项值将被忽略：

Method  (1)

缺省时，Solve 舍掉关于连续参数的不等式条件：

当设置为 Method->Reduce 时，Solve 使用 Reduce 求完整的解集：

Modulus  (2)

在以9为模的整数上求解方程：

求使方程组有一个解的模数：

Quartics  (3)

默认情况下，Solve 仅在出现符号参数的情况下，才使用通用公式求四次方程的根式解：

对于具有数字系数的多项式，Solve 不使用公式：

如果设置 Quartics->False，Solve 将不会使用公式：

如果设置 Quartics->True，Solve 则总是使用公式：

VerifySolutions  (1)

Solve 用非等价转换来验证获得的解：

设置为 VerifySolutions->False 时，Solve 不验证解：

在 VerifySolutions->False 下返回的某些解可能不正确：

这里用快速数值测试来尽可能选择正确的解：

在这个例子中，数值验证给出正确的解集：

WorkingPrecision  (1)

在缺省情况下，Solve 求出方程确切的解：

使用100位精度计算解，速度较快：

结果中的前100位数字与确切解一致：

用机器精度计算解会更快：

结果仍很接近确切解：

应用  (7)

求解一个二次方程：

求出圆和抛物线的交点：

找到使四次方程所有根相等的条件：

一种使用 Subresultants 的方法：

一种使用量词消去的方法：

绘制一条由隐式描述确定的空间曲线：

绘制空间曲线在 {x,y} 平面上的投影：

求勾股数（毕氏三元组）：

求勾股数序列：

求如何使用面值分别为10分、23分和37分的邮票付$2.27的邮费：

通过 IntegerPartitions 可以完成同样的任务：

求一个复解析函数的 200 个根：

在复数图上显示函数的根：

属性和关系  (15)

满足方程的解：

给出的解作为置换规则，可以直接用于置换：

Solve 用 {} 表示空解或无解：

Solve 用 {{}} 表示所有解或满足方程的所有点：

对于单变量方程，Solve 根据解的重数重复解：

代数方程的解通常以 Root 对象的形式给出：

用 N 计算 Root 对象的数值近似值：

Root 对象可以涉及参数：

用 Series 计算 Root 对象的级数展开：

满足方程的级数最高阶数为11：

Solve 按替换规则表示解：

Reduce 用方程和不等式的 Boolean 组合来表示解：

Solve 使用快速试探法求解超越方程，但可能给出不完全的解：

Reduce 使用的方法往往较慢，但能得到所有解，并且给出所有必要的条件：

用 FindInstance 求出一个特解：

与 Reduce 类似，可以为 FindInstance 给出不等式和定义域说明：

用 DSolve 求解微分方程：

用 RSolve 求解递归方程：

SolveAlways 给出使得复数方程恒为真的参数值：

同样的问题可以用 ForAll 表述，并用 Solve 或 Reduce 求解：

Resolve 消去量词，可能不需求解生成的无量词方程组：

Eliminate 从复数方程组中消去量词：

用 Resolve 求解相同的问题：

Reduce 和 Solve 求解生成的方程：

当且仅当方程 对于每个 只有一个解时， 才是双射的：

用 FunctionBijective 测试函数是否是双射的：

用 FunctionAnalytic 测试函数是否是解析的：

解析函数在一个封闭且有界的区域中只能有有限个零点：

可能存在的问题  (9)

Solve 给出通解；涉及参数方程的解没有给出：

Reduce 给出所有解，包含需要参数方程的解：

设置为 MaxExtraConditions->All 时，Solve 也给出非通解：

Solve 的结果不依赖于部分输入方程是否只含有参数. 下面的两个方程组等价，都不存在通解：

使用 MaxExtraConditions 指定所允许的参数条件数：

使用 Exists 量词求对于某些参数值 a 有效的解：

Solve 不去除既不是一般正确的，也不是一般不正确的解：

解在 时是正确的，在 时是不正确的：

对于超越方程，Solve 可能不给出所有的解：

使用 Reduce 得到所有解：

Solve 在设置 Method->"Reduce" 时，使用 Reduce 求解，但返回置换规则：

用反函数，这允许 Solve 快速求出某些解：

求出完全解可能花费更长的时间并且解可能会很大：

这里求出解为 x==2 的 n 值：

对假设条件的解释取决于它们的句法性质. 此处，解在受假设条件限制的参数空间中是通解：

下面在数学上等价的假设条件含有要求解的变量，因此被视为要求解的方程组的一部分：

没有通解，以你为输入被解释为：

解非通解，因为它要求参数满足一个等式：

当参数被限制于一个离散集合时，通解的概念定义不明确，则返回所有的解：

输入方程的可移除奇点通常不被视为有效解：

然而，解可以包括可移除的奇点，这些奇点会被自动化简取消：

处的可移除奇点在运算时被取消：

此处， 处的可移除奇点被对方程进行预处理的 Together 取消：

MaxRoots 的值仅用于具有数值系数的系统：

当存在符号参数时，选项值将被忽略：

作为变量给出的表达式被视为原子对象，而不是其子表达式的函数：

实际上，在方程求解之前，变量被替换为新符号：

结果来自于：

Wolfram Research (1988)，Solve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Solve.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Solve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Solve.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Solve." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Solve.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). Solve. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Solve.html 年

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