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Wolfram言語 ＆ システムドキュメントセンター

EmptySpaceF[pdata,r]

半径 r にある点データ pdata について空空間関数 を推定する．

EmptySpaceF[pproc,r]

点データ pproc について を計算する．

EmptySpaceF[bdata,r]

ビン分割データ bdata について を計算する．

EmptySpaceF[pspec]

異なる半径 r に繰り返し適用可能な関数 を生成する

詳細とオプション
Details and Options Details and Options
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点データ  
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SpatialBoundaryCorrection  
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特性と関係  
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EmptySpaceF

EmptySpaceF[pdata,r]

半径 r にある点データ pdata について空空間関数 を推定する．

EmptySpaceF[pproc,r]

点データ pproc について を計算する．

EmptySpaceF[bdata,r]

ビン分割データ bdata について を計算する．

EmptySpaceF[pspec]

異なる半径 r に繰り返し適用可能な関数 を生成する

詳細とオプション

  • EmptySpaceFは，球状接触分布関数としても知られている．
  • 関数 は，通常 pdata の点ではない任意の場所から距離 内にある点を求める確率を与える．
  •     
  • ポアソン(Poisson)点過程と比較すると，結果は以下のようになる．
  •     
  • 半径 r は単一の値でも値のリストでもよい．半径 r が指定されていないと，EmptySpaceFは 関数を繰り返し評価するために使えるPointStatisticFunctionを返す．
  • 点データ pdata の形式は以下の形でよい．
  • {p1,p2,…}点 pi
    GeoPosition[…],GeoPositionXYZ[…],…地理的点
    SpatialPointData[…]空間点集合
    {pts,reg}点集合 pts と観測領域 reg
  • 観測領域 reg は，与えられていなければRipleyRassonRegionを使って自動的に計算される．
  • 点過程 pproc は次の形でよい．
  • proc点過程 proc
    {proc,reg}点過程 proc と観測領域 reg
  • 観測領域 reg は，パラメータフリーのSpatialObservationRegionQでなければならない．
  • ビン分割データ bdata はSpatialBinnedPointDataからのもので，区分一定強度関数によってInhomogeneousPoissonPointProcessとして扱われる．
  • pdata について，は観測領域を離散化することで計算され，一定の点強度が想定される．
  • pproc について，は厳密な式を使うことで，あるいはシミュレーションで点データを生成することで計算される．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Method Automatic使用するメソッド
    SpatialBoundaryCorrection Automatic使用する境界補正
  • 次は，SpatialBoundaryCorrectionの可能な設定である．
  • Automatic境界補正を自動的に決定する
    None境界補正なし
    "BorderMargin"観測領域に内部余白を使う
    "Hanisch"最近傍までの距離が境界までの距離より大きい点を削除する
    "KaplanMeier"SurvivalDistributionメソッド．点の最近傍までの距離が領域境界までの距離で打ち切られる
    "NelsonAalen"SurvivalDistributionメソッド．点の最近傍までの距離が領域境界までの距離で打ち切られる
  • Method->{"Discretization"->opts}と設定することで推定における離散かメソッドが調整できる．opts はDiscretizeRegionの任意の有効なオプションでよい．

例題

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例  (3)

指定された距離における空空間関数を推定する：

Wolfram Language code: region = Ball[{0, 0}]; pts = RandomPoint[region, 100];
Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1]

ある距離範囲の空空間関数を推定する：

Wolfram Language code: spd = SpatialPointData[RandomReal[1, {100, 2}]]
Wolfram Language code: rspec = Range[0.01, 0.2, 0.01];
Wolfram Language code: est = EmptySpaceF[spd, rspec];

ListPlotで結果を可視化する：

Wolfram Language code: ListPlot[est, DataRange -> MinMax[rspec], Filling -> Axis, AxesLabel -> {r}]

クラスタ点過程の空空間関数：

Wolfram Language code: f = EmptySpaceF[ThomasPointProcess[3, 2, 0.2, 2], r];
Wolfram Language code: Plot[f, {r, 0, 0.5}, AxesLabel -> Automatic]

スコープ  (7)

点データ  (4)

距離0.1におけるデータについての空空間関数を推定する：

Wolfram Language code: region = Rectangle[{0, 0}, {1, 2}]; pts = RandomPoint[region, 100];
Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1]

指定された距離のリストについての空空間関数の経験的推定値を得る：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, {0.1, 0.15, 0.01, 0.03}]

後で使えるようにPointStatisticFunctionを作る：

Wolfram Language code: reg = Disk[]; pts = RandomPoint[Disk[], 100];
Wolfram Language code: psf = EmptySpaceF[{pts, reg}]

指定半径における値を計算する：

Wolfram Language code: psf[0.1]

明示的に観測領域を与えることはせずに空空間関数を推定する：

Wolfram Language code: BlockRandom[SeedRandom[1]; pts = RandomReal[1, {100, 2}] ];
Wolfram Language code: psf = EmptySpaceF[pts]

Ripley–Rasson推定器で生成された観測領域：

Wolfram Language code: psf["ObservationRegion"]

距離0.05の 関数を推定する：

Wolfram Language code: psf[0.05]

EmptySpaceFをGeoPositionと一緒に使う：

Wolfram Language code: pts = RandomGeoPosition[GeoDisk[GeoPosition[{0, 0}], Quantity[10, "Kilometers"]], 10 ^ 2]
Wolfram Language code: psf = EmptySpaceF[pts]

点統計関数をプロットする：

Wolfram Language code: ListPlot[Table[{x, psf[x]}, {x, Quantity[0, "km"], psf["MaxRadius"], Quantity[.1, "km"]}], AxesLabel -> {"km"}]

点過程  (3)

PoissonPointProcessについての空空間関数は閉じた形を持つ：

Wolfram Language code: proc = PoissonPointProcess[μ, d];
Wolfram Language code: EmptySpaceF[proc, r]

固定強度と変化する次元について可視化する：

Wolfram Language code: Plot[Table[EmptySpaceF[proc /. μ -> 2, r], {d, 1, 4}]//Evaluate, {r, 0, 1.3}, AxesLabel -> {r}, PlotLegends -> (Row[{#, "D"}]& /@ Range[4])]

指定次元のクラスタ過程ThomasPointProcessについての空空間関数：

Wolfram Language code: proc2D = ThomasPointProcess[30, 10, .3, 2];
Wolfram Language code: DiscretePlot[EmptySpaceF[proc2D, r], {r, 0.01, .5, .02}, PlotRange -> {0, 1}, AxesLabel -> Automatic]

3Dで：

Wolfram Language code: proc3D = ThomasPointProcess[30, 10, .3, 3];
Wolfram Language code: DiscretePlot[EmptySpaceF[proc3D, r], {r, 0.01, .5, .02}, PlotRange -> {0, 1}, AxesLabel -> Automatic]

指定次元のクラスタ過程MaternPointProcessについての空空間関数：

Wolfram Language code: proc2D = MaternPointProcess[30, 5, 1, 2];
Wolfram Language code: DiscretePlot[EmptySpaceF[proc2D, r], {r, 0.01, .5, .02}, PlotRange -> {0, 1}, AxesLabel -> Automatic]

3Dで：

Wolfram Language code: proc3D = MaternPointProcess[30, 5, 1, 3];
Wolfram Language code: DiscretePlot[EmptySpaceF[proc3D, r], {r, 0.01, .5, .02}, PlotRange -> {0, 1}, AxesLabel -> Automatic]

オプション  (3)

SpatialBoundaryCorrection  (2)

境界補正なしのEmptySpaceF推定器は偏っているので，大きい点集合以外では使うべきではない：

Wolfram Language code: region = Rectangle[{0, 0}, {1, 2}]; pts = RandomPoint[region, 100];
Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1, SpatialBoundaryCorrection -> "None"]

デフォルトメソッドの"BorderMargin"は境界から距離 の点だけを考慮する：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1, SpatialBoundaryCorrection -> "BorderMargin"]

"Hanisch"法は観測領域の各点に重みを付けて，推定値が偏らないようにする：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1, SpatialBoundaryCorrection -> "Hanisch"]

"KaplanMeier"法と"NelsonAalen"法はSurvivalDistributionで使われる推定器である．各点から最近傍までの距離は各点から観測領域の境界までの距離で打ち切られる：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1, SpatialBoundaryCorrection -> "KaplanMeier"]
Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.1, SpatialBoundaryCorrection -> "NelsonAalen"]

異なる辺補正メソッドを比較する：

Wolfram Language code: region = Disk[]; pts = RandomPoint[region, 400];

空空間関数の値を異なる3つの方法で推定する：

Wolfram Language code: rlist = Range[0.01, 0.1, 0.005]; mths = {"BorderMargin", "Hanisch", "KaplanMeier"};
Wolfram Language code: data = EmptySpaceF[{pts, region}, rlist, SpatialBoundaryCorrection -> #]& /@ mths;

結果を可視化する：

Wolfram Language code: f[r_] := 1 - Exp[-(400 / RegionMeasure[region])(Pi)r ^ 2]
Wolfram Language code: Show[Plot[f[r], {r, 0, 0.1}, PlotStyle -> Gray, PlotLegends -> {"theoretical"}], ListPlot[data, DataRange -> MinMax[rlist], PlotLegends -> mths], AxesLabel -> {r}]

Method  (1)

離散か設定はMethodのサブオプションとして与えることができる：

Wolfram Language code: region = Triangle[{{0, 0}, {1, 2}, {-3, 1}}]; pts = RandomPoint[region, 100];

同じ半径の空空間をMaxCellMeasureの値を変えて推定する：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.05, Method -> {"Discretization" -> {MaxCellMeasure -> #}}]& /@ {0.005, 0.01, 0.02}

異なる離散化メソッドを使って同じ半径における空空間関数を推定する：

Wolfram Language code: EmptySpaceF[{pts, region}, 0.05, Method -> {"Discretization" -> {Method -> #}}]& /@ {"Continuation", "DiscretizeGraphics"}

アプリケーション  (3)

空間的にランダムなデータについての空空間関数：

Wolfram Language code: data1 = RandomPointConfiguration[PoissonPointProcess[20, 2], Disk[]]; data2 = RandomPointConfiguration[InhomogeneousPoissonPointProcess[Function[{x, y}, (20x ^ 2 + 40y ^ 2)], 2], Disk[]];

結果を可視化する：

Wolfram Language code: F1 = EmptySpaceF[data1]; F2 = EmptySpaceF[data2];
Wolfram Language code: Plot[{F1[r], F2[r]}, {r, 0, 1}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {r}]

ハードコアデータについての空空間関数：

Wolfram Language code: rr = {0.05, 0.1, 0.15}; spds = Table[RandomPointConfiguration[HardcorePointProcess[100, rad, 2], Disk[]], {rad, rr}];

空空間関数の値を与えられたデータで推定する：

Wolfram Language code: Fs = Table[EmptySpaceF[spd], {spd, spds}];

結果を可視化する：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Map[#[r]&, Fs]//Evaluate, {r, 0.005, 0.2, 0.005}, AxesLabel -> {r}, PlotLegends -> (Row[{"rad = ", #}]& /@ rr)]

2019年5月20日（月）に，暴風予報センターが，テキサス州のパンハンドルの北東部からオクラホマ州中央部までの小さな回廊を指摘した．EF2–EF5竜巻が特定の場所から25マイル以内で発生する確率は45％で，これがEmptySpaceFの値を定義する：

Wolfram Language code: eqn[proc_] := (EmptySpaceF[proc, Quantity[25, "Miles"]] == .45)

領域上の強度が一定であると仮定して，ポアソン点過程を竜巻のパターンモデルとして使う：

Wolfram Language code: eqn[PoissonPointProcess[λ, 2]]
Wolfram Language code: sol = First@Solve[eqn[PoissonPointProcess[λ, 2]], λ]

ポアソン点過程を定義する：

Wolfram Language code: model = PoissonPointProcess[λ /. sol, 2]

ある場所の与えられた半径内で竜巻が発生する確率を計算する：

Wolfram Language code: Plot[EmptySpaceF[model, Quantity[r, "Miles"]], {r, 0, 50}, AxesLabel -> {"Miles"}]

オクラホマ州上の可能な竜巻の広がりのシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: OK = RandomPointConfiguration[model, Entity["AdministrativeDivision", {"Oklahoma", "UnitedStates"}]["Polygon"]]
Wolfram Language code: GeoListPlot[OK["Points"], GeoRange -> Entity["AdministrativeDivision", {"Oklahoma", "UnitedStates"}]]

特性と関係  (4)

空空間関数はCDFのように動作する：

Wolfram Language code: data = RandomPointConfiguration[PoissonPointProcess[20, 2], Disk[]];

結果を可視化する：

Wolfram Language code: F = EmptySpaceF[data]
Wolfram Language code: Plot[F[r], {r, 0, 1}, PlotRange -> All]

PoissonPointProcessについての空空間関数は，半径 の円板上のPointCountDistributionの零点におけるSurvivalFunctionに等しい：

Wolfram Language code: proc[d_] := PoissonPointProcess[μ, d]
Wolfram Language code: EmptySpaceF[proc[d], r]

半径 の球体上の過程についての点過程分布を定義する：

Wolfram Language code: dist[d_] := PointCountDistribution[proc[d], Ball[ConstantArray[0, d], r]];

零点におけるその生存関数と固定次元の空空間関数と比較する：

Wolfram Language code: SurvivalFunction[dist[2], 0] === EmptySpaceF[proc[2], r]

3Dで：

Wolfram Language code: SurvivalFunction[dist[3], 0] === EmptySpaceF[proc[3], r]

ランダムな次元で：

Wolfram Language code: With[{d = RandomInteger[10 ^ 6]}, SurvivalFunction[dist[d], 0] === EmptySpaceF[proc[d], r]]

PoissonPointProcessの空空間関数と最近傍関数は等しい：

Wolfram Language code: proc = PoissonPointProcess[μ, d];
Wolfram Language code: EmptySpaceF[proc, r]
Wolfram Language code: NearestNeighborG[proc, r]
Wolfram Language code: %% - %

1Dでは，両者はどちらもExponentialDistributionの累積分布関数に等しい：

Wolfram Language code: vol[d_] := π ^ (d / 2) / Gamma[1 + d / 2]
Wolfram Language code: CDF[ExponentialDistribution[μ * vol[1]], r]
Wolfram Language code: Block[{d = 1}, % == EmptySpaceF[proc, r] == NearestNeighborG[proc, r]//Simplify[#, r ≥ 0]&]

EmptySpaceFはしばしばNearestNeighborGと比較されるが，後者は点集合内の点から距離 r 内に別の点が見付かる確率を推定するものである：

Wolfram Language code: region = Ball[{0, 0}]; pts = RandomPoint[region, 1000];
Wolfram Language code: rspec = Range[0, 0.08, 0.005]; res = NearestNeighborG[{pts, region}, rspec];

結果をListPlotで可視化する：

Wolfram Language code: ListPlot[res, DataRange -> MinMax[rspec], Filling -> Axis, AxesLabel -> {r}]

HardcorePointProcessが生成した点データについてのEmptySpaceFとNearestNeighborGの推定を比較する：

Wolfram Language code: spd1 = RandomPointConfiguration[HardcorePointProcess[500, 0.15, 2], region]
Wolfram Language code: rspec1 = Range[0, 0.3, 0.01]; esf = EmptySpaceF[spd1, rspec1]; nng = NearestNeighborG[spd1, rspec1];
Wolfram Language code: ListLinePlot[{nng, esf}, DataRange -> MinMax[rspec1], Filling -> Axis, AxesLabel -> {r}, PlotLegends -> {"Nearest Neighbor Distribution", "Empty Space Distribution"}]
Wolfram Research (2020), EmptySpaceF, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html.

テキスト

Wolfram Research (2020), EmptySpaceF, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html.

CMS

Wolfram Language. 2020. "EmptySpaceF." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html.

APA

Wolfram Language. (2020). EmptySpaceF. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_emptyspacef, author="Wolfram Research", title="{EmptySpaceF}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html}", note=[Accessed: 21-July-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_emptyspacef, organization={Wolfram Research}, title={EmptySpaceF}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/EmptySpaceF.html}, note=[Accessed: 21-July-2026]}