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Gamma

オイラー(Euler)のガンマ関数である．

Gamma[a,z]

不完全ガンマ関数である．

Gamma[a,z₀,z₁]

一般不完全ガンマ関数 $TemplateBox[{a, {z, _, 0}}, Gamma2]-TemplateBox[{a, {z, _, 1}}, Gamma2]$ を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
ガンマ関数は， $TemplateBox[{z}, Gamma]=int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt$ を満たす．
不完全ガンマ関数は， $TemplateBox[{a, z}, Gamma2]=int_z^inftyt^(a-1)e^(-t)dt$ を満たす．
不完全一般ガンマ関数は，積分で与えられる．
不完全ガンマ関数Gammaの引数は，不完全ベータ関数Betaと異なる配列を取ることに注意．
Gamma[z]は，不連続な分枝切断線を持たない．
Gamma[a,z]は，複素 z 平面上，〜の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
特別な引数の場合，Gammaは，自動的に厳密値を計算する．
Gammaは任意の数値精度で評価できる．
Gammaは自動的にリストに縫い込まれる．
GammaはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (8)

整数値：

半整数値：

複素引数について数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (50)

数値評価 (5)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

Gammaを高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合における統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のGamma関数を計算することもできる：

特定の値 (5)

Gammaの特異点：

無限大における値：

極小値をの根として求める：

整数次と半整数次で不完全ガンマ関数を記号的に評価する：

一般化された不完全ガンマ関数を半整数次で記号的に評価する：

可視化 (3)

オイラーのガンマ関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

不完全ガンマ関数を整数次と半整数次でプロットする：

関数の特性 (10)

オイラーの完全ガンマ関数の実領域：

複素領域：

不完全ガンマ関数の領域：

ガンマ関数は実数上のすべての非零の値に達する：

不完全ガンマ関数は実数入力に対してすべての実数値に達する：

しかし，複素数上ではすべての非零の値に達する：

不完全ガンマ関数の値域は限られている：

オイラーのガンマ関数は鏡特性を持つ：

完全ガンマ関数は有理型の非解析関数である：

は正の整数についてにおいて解析的である：

しかし，一般には，解析関数でも有理型関数でもない：

は非正の実数上で特異点と不連続点を持つ：

は非増加でも非減少でもない：

はが正の奇整数ときはの非増加関数である：

しかし，一般には，非増加でも非減少でもない：

は単射ではない：

は，非整数についてはの単射関数である：

整数については，の単射関数であることもないこともある：

は全射ではない：

もまた全射ではない：

について可視化する：

は非負でも非正でもない：

は正の奇数について非負である：

一般には，非負でも非正でもない：

は凸でも凹でもない：

はのとき実領域で凸である：

は，一般に，の他の値については凸でも凹でもない：

微分 (4)

オイラーのガンマ関数の一次導関数：

不完全ガンマ関数の一次導関数：

オイラーのガンマ関数の高次導関数：

半整数次の不完全ガンマ関数の高次導関数：

積分 (3)

不完全ガンマ関数の不定積分：

不完全ガンマ関数を含む積の不定積分：

定積分 $int_1^2TemplateBox[{x}, Gamma]dx$ の数値近似：

級数展開 (6)

オイラーのガンマ関数のの周りのテイラー(Taylor)展開：

オイラーのガンマ関数のの周りの最初の3つの近似をプロットする：

オイラーのガンマ関数の無限大における級数展開（スターリングの近似）：

任意の記号方向についての結果を与える：

生成点における不完全ガンマ関数の級数展開：

無限大における不完全ガンマ関数の級数展開：

一般化された不完全ガンマ関数の生成点における級数展開：

Gammaはベキ級数に適用できる：

積分変換 (4)

LaplaceTransformを使って不完全ガンマ関数のラプラス(Laplace)変換を計算する：

不完全ガンマ関数のInverseLaplaceTransform：

不完全ガンマ関数のMellinTransform：

オイラーのガンマ関数のInverseMellinTransform：

関数の恒等式と簡約 (5)

正の整数について：

FullSimplifyを使ってガンマ関数を簡約する：

オイラーのガンマ関数の基本的な関係：

倍角のオイラーのガンマ関数 $TemplateBox[{{2, , x}}, Gamma]=(2^(2 x-1))/(sqrt(pi)) TemplateBox[{x}, Gamma] TemplateBox[{{x, +, {1, /, 2}}}, Gamma]$ ：

不完全ガンマ関数との関係：

関数表現 (5)

オイラーのガンマ関数の積分表現：

不完全ガンマ関数の積分表現：

不完全ガンマ関数はMeijerGによって表すことができる：

不完全ガンマ関数はDifferentialRootとして表すことができる：

TraditionalFormによる表示：

一般化と拡張 (6)

オイラーのガンマ関数 (3)

Gammaは要素単位でリストに適用される：

極における級数展開：

記号的に指定された負の整数における展開：

TraditionalFormによる表示：

不完全ガンマ関数 (1)

整数次と半整数次で記号的に評価する：

一般化された不完全ガンマ関数 (2)

整数次と半整数次において記号的に評価する：

生成点における級数展開：

アプリケーション (9)

複素平面上におけるGammaの絶対値のプロット：

ガンマ関数の割合の漸近的な展開を求める：

次元の単位超球の体積：

低次元の場合：

単位超球の体積を次元の関数としてプロットする：

パラメータ平面上での不完全ガンマ関数の実部をプロットする：

分布の累積分布関数：

確率密度関数を計算する：

自由度の異なる数についての累積分布関数をプロットする：

BellY多項式でGamma関数の導関数を計算する：

Gamma関数の極限として，Infinityでが計算できる：

正規分布上の「square root of a quadratic form」（2次形式の平方根）の期待値：

GammaとCarlsonRGによる閉じた形の結果と比較する：

ZetaをIntegrate関数とGamma関数で表す：

特性と関係 (7)

FullSimplifyを使ってガンマ関数を簡約する：

超越方程式の根を数値的に求める：

Gammaを含む総和の式：

積分，積，極限から生成する：

微分方程式の解としてGammaを得る：

積分：

GammaはDifferenceRootとして表すことができる：

考えられる問題 (2)

引数が大きいと，明示的に計算するのには大きすぎる結果が与えられる：

機械数の入力は高精度の結果を与える：

おもしろい例題 (3)

複素平面上でGammaをネストさせる：

反復するGammaによるフラクタル：

のリーマン(Riemann)面をプロットする：

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