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MultinormalDistribution

MultinormalDistribution[Σ]

表示均值为零且协方差矩阵为 Σ 的多元正态分布.

MultinormalDistribution[μ,Σ]

代表多元正态（高斯）分布，具有均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ.

更多信息

在多元正态分布中，向量的概率密度与成正比.
MultinormalDistribution 允许 μ 为任何实向量，Σ 为满足 p=Length[μ] 的任意实正定对称 × 矩阵.
均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ 可以是使得 μ⊗μ 和 Σ 相对应的分量具有相同量纲的量. »
MultinormalDistribution 可与 Mean、CDF 以及 RandomVariate 等函数联合使用.

背景

MultinormalDistribution[μ,Σ] 表示一个支持在所有 -元组的集合上并且对而言各个第个（单变量）边际分布满足 NormalDistribution 的连续多变量统计分布. 换言之，对，各个变量满足 x_kNormalDistribution. 多维正态分布 MultinormalDistribution[μ,Σ] 由实数向量 μ 和正定对称矩阵 Σ 参数化, 满足 nLength[μ]Length[Σ] 并且定义分布的相关均值、方差和协方差. 由于其单变量边际是正态分布的，这个多维正态分布有时也被称作多变量正态分布.
尽管和双正态分布（BinormalDistribution）相似的，多维正态分布的概率密度函数（PDF）可能有多个“顶点”（即相对最大值），多维正态分布的概率密度函数（PDF）只有一个绝对最大值. 通常，对于较大的值 PDF 呈指数而非代数降低，就此意义而言每个关联边际 PDF 的尾部都是“薄的”. （这种行为可以通过分析这些边际分布的 SurvivalFunction 获得定量的精确.）
多维正态分布的应用大多相当于（BinormalDistribution）或的情况而非更普通的形式. 但是，由于多元中心极限定理，多变量正态分布可用于（至少是定性地）描述任意实数值随机变量的集合，其中这些变量分别聚集在一个给定的均值周围. 尽管如此，正态分布的多变量延伸的大量早期文献（有些可以追溯至1800年代）还是集中于双正态分布和三维正态分布上，它们被应用于包括遗传学、材料科学、进化生物学、经济学、生态学和药学在内的很多领域.
RandomVariate 可用于从一个多维正态分布中给出一个或多个机器精度或任意精度（后者通过 WorkingPrecision 选项）伪随机变量. Distributed[x,MultinormalDistribution[μ,Σ]] ，更简洁地写作 xMultinormalDistribution[μ,Σ]，可用于断言随机变量 x 符合多维正态分布. 这样的断言可用于如 Probability、 NProbability、 Expectation 和 NExpectation 等函数.
多维正态分布的概率密度和累积分布函数可以通过 PDF[MultinormalDistribution[μ,Σ],x] 和 CDF[MultinormalDistribution[μ,Σ],x] 给出. 均值、中位数、方差、原始矩和中心矩可以分别通过 Mean、 Median、 Variance、 Moment 和 CentralMoment 计算出.
DistributionFitTest 可用于测试一个给定数据集是否符合多维正态分布，EstimatedDistribution 可用于从给定数据中估计一个多位正态参数分布，而 FindDistributionParameters 可用于拟合数据至一个多维正态分布. ProbabilityPlot 可用于生成给定数据的 CDF 对符号化多维正态分布的 CDF 的图像，而 QuantilePlot 可用于生成给定数据的分位数对符号化多维正态分布的分位数的图像.
TransformedDistribution 可用于表示一个多维正态分布的变形，CensoredDistribution 可用于表示一个上限和下限值之间的删节值的分布，而 TruncatedDistribution 可用于表示一个上限和下限值之间的截尾值的分布. CopulaDistribution 可用于构建一个包含多维正态分布的更高维度的分布，而 ProductDistribution 可用于计算涉及多维正态分布的有独立组分分布的联合分布.
MultinormalDistribution 和其他一些分布相关，如上文所讨论的，包括 NormalDistribution 和 BinormalDistribution. MultinormalDistribution 的一维边际有 NormalDistribution，而每个多变量边际又是 MultinormalDistribution 的一个实例. PDF[MultinormalDistribution[{μ₁,μ₂},{{1,ρ},{ ρ,1}}],{x,y}] 是 ν∞ 时 PDF[MultivariateTDistribution[{μ₁,μ₂},{{1,ρ},{ ρ,1}},ν],{x,y}] 的极限，就此意义而言， MultinormalDistribution 是 MultivariateTDistribution 的一个极限情况. 而且 MultinormalDistribution 可以从 LogMultinormalDistribution 中通过变形（TransformedDistribution）. MultinormalDistribution 也与 RiceDistribution 有关，并且有意其与单变量 NormalDistribution 的关系，它也与 LogNormalDistribution、 DavisDistribution、 LogLogisticDistribution、 ExponentialDistribution、 WeibullDistribution、 GompertzMakehamDistribution、 ExtremeValueDistribution 和 GammaDistribution 有关.

范例

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基本范例 (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

均值和方差：

协方差：

范围 (8)

从二元正态分布生成一个伪随机向量的样本：

利用直方图实现样本的可视化：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

拟合优度检验：

偏度和峰度为常向量：

相关系数矩阵：

多重正态分布的三维相关系数的 ImplicitRegion：

使用 RandomPoint 从三维相关系数区域的均匀分布中采样：

估计随机相关矩阵的行列式小于 0.1 的概率：

风险函数：

单变量边缘分布服从 NormalDistribution：

多变量边缘分布服从多变量正态分布：

参数中保持一致地使用 Quantity 将给出 QuantityDistribution：

求每个测量的标准偏差：

推广和延伸 (1)

MultinormalDistribution[Σ] 的均值为零：

应用 (2)

在同一个图线中显示分布函数和它的直方图：

比较概率密度函数和直方图的情况：

比较累积分布函数和直方图的情况：

确定一个流入 4 辂节点的三个电流的多元正态分布：

求流出节点的电流的分布：

求电流值的95%的置信区间：

属性和关系 (10)

二元正态分布的等概率等高图：

在仿射变换下，多变量正态分布是闭合的：

对特定值：

与其它分布的关系：

NormalDistribution 是多变量正态分布的单变量情况：

BinormalDistribution 是多元正态分布的一个二维例子：

当趋于，多元正态分布是 MultivariateTDistribution 的极限：

多元正态分布与 RiceDistribution 相关：

LogMultinormalDistribution 是 MultinormalDistribution 的一个变换：

NormalDistribution 可以从 MultinormalDistribution 获得：

MultinormalDistribution 等价于带有多正态内核和高斯边缘的 CopulaDistribution：

对应于多正态分布：

概率密度函数是相等的：

可能存在的问题 (2)

当 μ 不是实数向量时，MultinormalDistribution 无定义：

当 μ 和 Σ 的维数不一致时，MultinormalDistribution 无定义：

当 Σ 不对称且正定时，MultinormalDistribution 无定义：

将无效参数代入符号式输出中将给出无意义的结果：

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