ParametricPlot

ParametricPlot[{f_x,f_y},{u,u_min,u_max}]

产生一个曲线的参数图，其中 x 和 y 的坐标 f_x 和 f_y 为 u 的函数.

ParametricPlot[{{f_x,f_y},{g_x,g_y},…},{u,u_min,u_max}]

绘制几个参数化曲线.

ParametricPlot[{f_x,f_y},{u,u_min,u_max},{v,v_min,v_max}]

绘制一个参数化区域.

ParametricPlot[{{f_x,f_y},{g_x,g_y},…},{u,u_min,u_max},{v,v_min,v_max}]

绘制几个参数化区域.

ParametricPlot[{…,w[{f_x,f_y}],…},…]

绘制特征由符号封装 w 定义的曲线 {f_x,f_y}.

ParametricPlot[…,{u,v}∈reg]

将参数 {u,v} 视为位于几何区域 reg 中.

更多信息和选项

ParametricPlot 在一维域上绘制时称为参数化曲线，在二维域上绘制时称为参数化区域.
对于一维定义域，用不同 u 的值计算 f_x 和 f_y，用于创建形式为 {f_x[u],f_y[u]} 的平滑曲线. 该函数可视化曲线 .
对于两个参数 u 和 v，将针对 u 和 v 的不同值对 {f_x,f_y} 进行计算，以创建点的区域 {f_x[u,v],f_y[u,v]}. 它可视化了区域 .

曲线和区域可能与自身相交或重叠.
在 f_i 运算为除实数以外的任何值的 u 处会留下间距.
范围 u_min、u_max、v_min 和 v_max 可以是实数或 Quantity 表达式.
区域 reg 可以是一维或二维的任何 RegionQ 对象.
ParametricPlot 将变量 u 和 v 视为局部变量，相当于使用 Block.
ParametricPlot 有属性 HoldAll，只在将具体的数值赋给变量后才计算 f_i 和 g_i.
在某些情况下，在将具体数值赋给变量之前，用 Evaluate 以符号方式计算 f_i 和 g_i 可能更高效.
可在多个层级上应用封装 w：
w[{f_x,f_y}] 封装 {f_x,f_y}

w[{{f_x,f_y},{g_x,g_y},…}] 封装一组曲线

w₁[w₂[…]] 使用嵌套的封装
Callout、Labeled 和 Placed 可使用以下位置 pos：

	Automatic	自动放置标签
	Above, Below, Before, After	曲线周围的位置
	u	参数 u 处靠近曲线的位置
	{x,y}	靠近 {x,y} 的位置
	Scaled[s]	沿曲线的缩放位置 s
	{s,Above},{s,Below},…	沿曲线的位置 s 处的相关位置
	{pos,epos}	放置在曲线相关位置 pos 上的标签内的位置 epos

ParametricPlot 具有与 Graphics 相同的选项，不同之处及更多选项如下所示： [所有选项的列表]

AspectRatio	Automatic	高宽比
Axes	True	是否绘制坐标轴
BoundaryStyle	Automatic	怎样绘制区域的边界
ColorFunction	Automatic	怎样对曲线或区域着色
ColorFunctionScaling	True	是否缩放 ColorFunction 的参数
EvaluationMonitor	None	每次运行函数时要计算的表达式
Exclusions	Automatic	要排除的 u 点或 u、v 曲线
ExclusionsStyle	None	在要排除的点或曲线处绘制什么内容
Frame	Automatic	是否在绘图周围添加边框
LabelingSize	Automatic	标注和标签的最大尺寸
MaxRecursion	Automatic	允许的递归子划分的最大数量
Mesh	None	绘制多少网格
MeshFunctions	Automatic	如何确定网格的位置
MeshShading	None	如何处理网格点或线之间区域的色调
MeshStyle	Automatic	网格的样式
Method	Automatic	细化曲线或区域的方式
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
PlotHighlighting	Automatic	曲线的突出显示效果
PlotLabels	None	用于曲线的标签
PlotLegends	None	曲线的图例
PlotPoints	Automatic	每个参数初始样本点的数量
PlotRange	Automatic	要包含的值的范围
PlotRangeClipping	True	在绘图范围边界处是否进行剪切
PlotStyle	Automatic	指定每个对象的样式的图形指令
PlotTheme	$PlotTheme	绘图的整体主题
RegionFunction	(True&)	如何确定是否包含一个点
ScalingFunctions	None	如何缩放个别坐标
TextureCoordinateFunction	Automatic	如何决定纹理坐标
TextureCoordinateScaling	True	是否缩放 TextureCoordinateFunction 的参数
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

可用 Tooltip、StatusArea 或 Annotation 为曲线和区域指定交互式标注.
ParametricPlot[Tooltip[{{f_x,f_y},…},…]] 指定应将 {f_x,f_y} 显示为相应曲线或区域的提示标签.
Tooltip[{f_x,f_y},label] 为曲线或区域指定一个明确的提示标签.
PlotLegends 的典型设置包括：

	None	不使用图例
	Automatic	自动确定图例
	"Expressions"	用 {f_x, f_y}、{g_x, g_y} … 作为图例标签
	{lbl₁,lbl₂,…}	用 lbl₁、lbl₂、… 作为图例标签
	Placed[lspec,…]	指定图例的放置

ParametricPlot 最初在 PlotPoints 指定的多个等距采样点处对每个函数进行计算. 然后使用自适应算法来选择额外的样本点，最多将每个参数中给定的区间细分 MaxRecursion 次.
应该注意的是，由于使用有限数量的样本点，ParametricPlot 可能会遗漏函数中的特征. 如果想要检查所得结果是否正确，应尝试增大 PlotPoints 和 MaxRecursion 的设置.
如果无法绘制达到一定平滑程度的曲线，则 On[ParametricPlot::accbend] 可以使 ParametricPlot 显示一条提示信息.
缺省设置 Mesh->Automatic 对应于曲线的 None，对应于区域的 15.
设置 Mesh->All，ParametricPlot 将在每条曲线的每个样本点处绘制一个点或绘制一条线以表明每个区域的子划分.
缺省设置 MeshFunctions->Automatic 对应于曲线的 {#3&}，对应于区域的 {#3&,#4&}.
提供给 MeshFunctions 和 RegionFunction 中的函数的参数是 x、y、u、v. 默认情况下，提供给 ColorFunction 和 TextureCoordinateFunction 中的函数的是这些参数缩放过的版本.
在每条曲线或每个区域的所有地方对函数进行计算.
Highlighted 和 PlotHighlighting 可用的突出显示效果包括：

		style	突出显示指定的曲线
		"Ball"	突出显示并标注曲线中指定的点
		"Dropline"	突出显示并标注曲线中指定的点，同时绘制到坐标轴的准线
		"XSlice"	突出显示并标注垂直切片上的所有点
		"YSlice"	突出显示并标注水平切片上的所有点
		Placed[effect,pos]	静态突出显示给定位置 pos

突出显示的位置指定 pos 包括：
x, {x} 在 {x,y} 处突出显示，自动选择 y

{x,y} 在 {x,y} 处突出显示

{pos₁,pos₂,…} 多个位置 pos_i
ScalingFunctions 的可能设置包括：
{s_x,s_y} 缩放 x 和 y 坐标轴

{s_x,s_y,s_u} 缩放 u 参数空间

{s_x,s_y,s_u,s_v} 缩放 u 和 v 参数空间
常见的内置缩放函数 s 包括：

	"Log"		对数刻度，自动进行标记
	"Log10"		以 10 为底的对数刻度，用 10 的幂进行标记
	"SignedLog"		类似对数的刻度，包含 0 和负数
	"Reverse"		反转坐标的方向
	"Infinite"		无穷刻度

缩放 u 或 v 参数空间将影响如何对绘图采样，但不影响整体的视觉外观.
对于曲线，ParametricPlot 返回 Graphics[Line[data]]，对于区域，它返回 Graphics[GraphicsComplex[data]].

所有选项的列表

AlignmentPoint	Center	在图形内对齐的缺省点
AspectRatio	Automatic	高宽比
Axes	True	是否绘制坐标轴
AxesLabel	None	坐标轴标签
AxesOrigin	Automatic	坐标轴原点
AxesStyle	{}	坐标轴样式指定
Background	None	绘图的背景色
BaselinePosition	Automatic	如何与环绕文本基线对齐
BaseStyle	{}	图形的基本样式指定
BoundaryStyle	Automatic	怎样绘制区域的边界
ColorFunction	Automatic	怎样对曲线或区域着色
ColorFunctionScaling	True	是否缩放 ColorFunction 的参数
ContentSelectable	Automatic	是否允许进行内容选择
CoordinatesToolOptions	Automatic	坐标工具的详细行为
Epilog	{}	主图形之后执行的图形指令
EvaluationMonitor	None	每次运行函数时要计算的表达式
Exclusions	Automatic	要排除的 u 点或 u、v 曲线
ExclusionsStyle	None	在要排除的点或曲线处绘制什么内容
FormatType	TraditionalForm	文本的缺省样式类型
Frame	Automatic	是否在绘图周围添加边框
FrameLabel	None	边框标签
FrameStyle	{}	边框的样式指定
FrameTicks	Automatic	边框刻度
FrameTicksStyle	{}	边框刻度的样式指定
GridLines	None	绘制的网格线
GridLinesStyle	{}	网格线的样式指定
ImageMargins	0.	图形周围的边幅
ImagePadding	All	为标签等额外填充内容
ImageSize	Automatic	图形的绝对尺寸
LabelingSize	Automatic	标注和标签的最大尺寸
LabelStyle	{}	标签的样式指定
MaxRecursion	Automatic	允许的递归子划分的最大数量
Mesh	None	绘制多少网格
MeshFunctions	Automatic	如何确定网格的位置
MeshShading	None	如何处理网格点或线之间区域的色调
MeshStyle	Automatic	网格的样式
Method	Automatic	细化曲线或区域的方式
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
PlotHighlighting	Automatic	曲线的突出显示效果
PlotLabel	None	图形的一个整体标签
PlotLabels	None	用于曲线的标签
PlotLegends	None	曲线的图例
PlotPoints	Automatic	每个参数初始样本点的数量
PlotRange	Automatic	要包含的值的范围
PlotRangeClipping	True	在绘图范围边界处是否进行剪切
PlotRangePadding	Automatic	填充图形值范围的程度
PlotRegion	Automatic	填充的最后显示区域
PlotStyle	Automatic	指定每个对象的样式的图形指令
PlotTheme	$PlotTheme	绘图的整体主题
PreserveImageOptions	Automatic	当显示相同图形的新版本时，是否保存图形选项
Prolog	{}	主图形之前执行的图形指令
RegionFunction	(True&)	如何确定是否包含一个点
RotateLabel	True	是否在边框上旋转 y 标签
ScalingFunctions	None	如何缩放个别坐标
TextureCoordinateFunction	Automatic	如何决定纹理坐标
TextureCoordinateScaling	True	是否缩放 TextureCoordinateFunction 的参数
Ticks	Automatic	坐标轴标记
TicksStyle	{}	坐标轴标记的样式指定
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

绘制一个参数曲线：

绘制一个参数区域：

绘制几条具有图例的参数曲线：

绘制叠加区域：

范围 (34)

采样 (9)

在函数值变化较快的位置，用更多的样本点：

自动选择绘图区域：

排除非实数的函数范围：

当函数存在不连续时，曲线被分割：

用 PlotPoints 和 MaxRecursion 控制相应的采样：

用 PlotRange 强调感兴趣的区域：

用 Exclusions 删除点或分割最后的曲线：

可以用区域来指定参数的域：

两个参数：

还可以用 MeshRegion 来指定参数的域：

标签和图例 (13)

使用 Callout 添加表达式作为标签：

使用任何文本作为标签：

标签区域：

把标签延曲线放：

把标签放在缩放的位置：

把标签放在相关曲线内：

把标签放在相关曲线外：

把标签放在区域内：

用 PlotLabels 标签曲线：

标签多条曲线：

使用缩放位置：

指定相对于点的文本位置：

指定在 {x,y} 位置的标签：

把标签放在区域外：

包括每条曲线的图例：

包括每个区域的图例：

使用 Legended 为特殊曲线提供图例：

使用 Placed 改变图例位置：

曲线通常有交互式标注，将鼠标悬停在曲线上时会显示坐标：

同时使用特定的封装或交互（如提示条）时会关闭交互功能：

从多种交互式突出显示效果中进行选择：

用 Highlighted 强调绘图中某些特定的点：

突出显示多个点：

演示 (12)

自动用不同的颜色对多个曲线或区域着色：

加上图例来区分曲线和区域：

把标签添加到曲线上：

对不同的曲线和区域提供不同的样式：

增加标签：

对每个曲线或区域提供一个交互的 Tooltip：

创建一个叠加的网格：

设置网格层次间的区域的样式：

对参数值着色：

选用一种绘图主题样式：

反转 x 轴的方向：

缩放 u 空间参数以改变采样，但不影响整体形状：

缩放 v 空间参数：

选项 (88)

BoundaryStyle (3)

在表面的周围用红色边界线：

BoundaryStyle 应用到 RegionFunction 切割的区域上：

BoundaryStyle 并不一个应用到 Exclusions 分割的空洞：

ColorFunction (5)

对、或值比例缩放的曲线着色：

对和参数值比例缩放进行着色：

用一个已命名的颜色梯度：

ColorFunction 较 PlotStyle 有更高的优先级：

对于参数用红色：

ColorFunctionScaling (2)

按角度对曲线着色：

按角度对区域着色，并改变区域的不透明度：

EvaluationMonitor (3)

求出计算的参数列表：

求出参数坐标值：

统计函数计算的次数：

Exclusions (5)

自动确定排除区域：

用方程指定排除：

排除固定的点集：

不使用任何排除：

排除方程和自动选择点：

ExclusionsStyle (3)

指定连接排除点的线的样式：

提供点的样式和连接点的线的样式：

在排除曲线划分的区域上绘制红色线条：

LabelingSize (2)

以实际尺寸显式文本标签：

指定文本大小：

调整图像标签以适应绘图：

指定标签大小：

MaxRecursion (2)

MaxRecursion 的每个层次将初始的网格自动划分为优化的网格：

参数区域的划分：

Mesh (5)

显示初始和最后取样的网格：

在参数方向上用10个等间隔的网格层：

在不同的方向用不同数量的网格线：

对于参数的网格，曲线用明确的值列表，对于参数无网格：

对于网格用明确的值和样式：

MeshFunctions (3)

在、和方向用等间隔的网格：

在、、和方向用等间隔的网格：

在方向显示 5 条网格线 (红色)，在方向用 10 条网格线 (蓝色)：

MeshShading (7)

在方向交替红色和蓝色弧度：

用 None 删除分段：

MeshShading 可以和 PlotStyle 连用：

MeshShading 在样式方面比 PlotStyle 有更高的优先级：

对于某些分段通过设置 MeshShading 为 Automatic 来使用 PlotStyle：

MeshShading 可以和 ColorFunction 连用：

填充多个网格函数定义的区域：

MeshStyle (4)

自动选择网格样式：

在方向用红色网格：

在方向用红色网格，在方向用了蓝色网格：

在方向用较大的红色网格层：

PerformanceGoal (2)

产生高质量的图形：

强调性能，是以牺牲质量为代价的：

PlotHighlighting (8)

当设置为默认的 PlotHighlightingAutomatic 时，绘图有交互式坐标标注：

用 PlotHighlightingNone 禁止整个绘图的突出显示：

用 Highlighted[…,None] 禁止一条曲线的突出显示：

将鼠标移到曲线上，用球和标签突出显示：

用球和标签突出显示曲线上特定的点：

将鼠标移到曲线上，用标签和到坐标轴的准线突出显示曲线：

用球和标签突出显示曲线上特定的点：

将鼠标移到曲线上，显示对应于位置的值的切片：

在固定值处突出显示一组点：

将鼠标移到曲线上，显示对应于位置的值的切片：

显示曲线上最接近鼠标位置的点：

指定点的样式：

显示曲线上离鼠标最近的点的坐标：

用 Callout 的选项改变标签的外观：

通过组合不同的效果创建自定义的效果：

PlotLabels (6)

指定文本标签曲线：

把标签放在曲线上：

把标签放在曲线的不同位置：

PlotLabels->"Expressions" 使用函数作为曲线标签：

使用标注标识曲线：

把标签放在相关曲线外：

使用 None 不添加标签：

PlotLegends (7)

默认情况下，不使用图例：

基于函数创建图例：

利用占位符文本创建图例：

利用指定标签创建图例：

PlotLegends 自动选择 PlotStyle 数值：

使用 Placed 来确定图例位置：

把图例放在图线中：

使用 LineLegend 来修改图例外观：

PlotPoints (2)

用更多的初始点来获得更平滑的图形：

在变化不大的方向上用较少的点：

PlotRange (2)

显示满足和的区域：

在值的原范围下，在原点周围的细节不可视：

用 PlotRange 强调感兴趣的区域：

PlotStyle (4)

用不同的样式指令：

在缺省情况下，对多个曲线和区域选择不同的样式：

明确的指定不同曲线和区域的样式：

PlotStyle 可以和 ColorFunction 连用：

PlotTheme (2)

使用亮色方案中具有简单刻度和网格线的主题：

改变颜色方案：

RegionFunction (1)

显示的区域：

ScalingFunctions (3)

默认情况下，ParametricPlot 使用线性刻度：

对 y 轴使用正负感知对数刻度：

用 ScalingFunctions 反转坐标轴的方向：

TextureCoordinateFunction (4)

默认情况下，纹理使用缩放的和参数：

使用和坐标：

使用没有缩放的坐标：

使用纹理来突出显示参数是如何映射到表面：

TextureCoordinateScaling (1)

对纹理使用缩放或无缩放的坐标：

WorkingPrecision (2)

用机器精度的算法计算函数：

用任意精度的算法计算函数：

应用 (9)

简单参数曲线包含一条线：

圆：

椭圆：

圆段：

椭圆段：

包括矩形的简单参数区域：

实心圆：

椭圆：

扇形：

圆环：

扇环：

旋转的椭圆：

绘制旋转椭圆的整个簇：

不同参数的圆：

对于的有理参数化：

绘制 Lissajous 曲线：

绘制一个 Nyquist 曲线：

关于 Lotka–Volterra predator-prey 方程解的相空间：

绘制复数映射：

一个 Joukowski 映射：

建立一个 2-link 平面机器人的模型：

绘制终端操纵的行为范围，其中和：

属性和关系 (7)

Plot 是曲线 ParametricPlot 的特例：

PolarPlot 是曲线 ParametricPlot 的特例：

对于数据用 ListPlot 和 ListLinePlot：

对于隐式曲线和区域用 ContourPlot 和 RegionPlot：

对于对数图形用 LogPlot、LogLinearPlot 和 LogLogPlot：

对于函数和参数曲面用 Plot3D 和 ParametricPlot3D：

对于圆柱坐标和球坐标用 RevolutionPlot3D 和 SphericalPlot3D：

可能存在的问题 (1)

在缺省情况下，不计算参数，作为一个合成函数的样式：

用 Evaluate 获得曲线的明确列表：

巧妙范例 (1)

强制欠采样：

顶部

	w[{f_x,f_y}]	封装 {f_x,f_y}
	w[{{f_x,f_y},{g_x,g_y},…}]	封装一组曲线
	w₁[w₂[…]]	使用嵌套的封装

	x, {x}	在 {x,y} 处突出显示，自动选择 y
	{x,y}	在 {x,y} 处突出显示
	{pos₁,pos₂,…}	多个位置 pos_i

	{s_x,s_y}	缩放 x 和 y 坐标轴
	{s_x,s_y,s_u}	缩放 u 参数空间
	{s_x,s_y,s_u,s_v}	缩放 u 和 v 参数空间