Sum

Sum[f,{i,i_max}]

求和式的值.

Sum[f,{i,i_min,i_max}]

从开始求值.

Sum[f,{i,i_min,i_max,di}]

使用步长求值.

Sum[expr,{i,{i₁,i₂,…}}]

用连续值 , , … .

Sum[f,{i,i_min,i_max},{j,j_min,j_max},…]

求多重和式的值.

Sum[f,i]

给出不定和 .

更多信息和选项

Sum[f,{i,i_max}] 可被输入为 .
可被输入为 sum 或 \[Sum].
Sum[f,{i,i_min,i_max}] 可被输入为 .
在常规输入中，上下限应为的底标和顶标，而被嵌入其它文本中时为下标和上标.
Sum 用标准 Wolfram 语言迭代指定.
迭代变量 i 被当作局部变量，相当于使用 Block.
如果一个和式的范围是有限的，通常把赋给一个由值组成的序列，对每个值计算 .
在多重求和中，最外层变量的范围首先应被给定. »
求和上下限不必是数. 它们可以是 Infinity 或符号表达式. » »
如果通过相加有限项，还是不能得出结果，Sum 会尝试给出符号解，在这种情况下，f 首先进行符号运算.
定义了不定和，以便相对于 i 的差给出 f. »
定和不定总和可以以任何顺序混合使用. »
下列选项可给予：

Assumptions	$Assumptions	参数的假设
GenerateConditions	False	是否产生涉及参数条件的答案
GeneratedParameters	None	如何命名产生的参数
Method	Automatic	使用的方法
Regularization	None	使用什么方案正规化
VerifyConvergence	True	是否验证收敛

Regularization 的可能值包括 None、"Abel"、"Borel"、"Cesaro"、"Dirichlet" 和 "Euler".{reg₁,reg₂,…} 在多重和中，对不同的变量指定不同的方案.
Method->"method" 用指定的方法执行求和.
Method->{"strategy",Method->{"meth₁","meth₂",…}} 使用方法 "meth_i"，用指定的策略方法控制.
可能的策略方法包括：

	"SequentialFirstToSucceed"	按顺序尝试每种方法，直到某一种成功
	"SequentialBestQuality"	按顺序尝试每种方法，返回最好结果
	"ParallelFirstToSucceed"	同时尝试每种方法，直到某一种成功
	"ParallelBestQuality"	同时尝试每种方法，返回最好结果
	"IteratedSummation"	使用迭代变量求和

指定的方法包括：

	Automatic	自动选择的方法
	"HypergeometricTermFinite"	特别有限超几何项求和
	"HypergeometricTermGosper"	无限超几何项求和
	"HypergeometricTermPFQ"	一般明确超几何项求和
	"HypergeometricTermZeilberger"	明确超几何项求和
	"LevelCounting"	基于水平集计数方案的求和
	"Logarithmic"	对数系列求和
	"PeriodicFunction"	周期函数求和
	"PolyGammaHypergeometricSeries"	多伽玛级数表示法求和
	"PolyGammaIntegralRepresentation"	多伽玛积分表示法求和
	"PolyGammaSumByParts"	多伽玛部分求和
	"Polynomial"	多项式求和
	"PolynomialExponential"	多项式指数总和
	"PolynomialTrigonometric"	多项式三角求和
	"Procedural"	程序地计算总和
	"QHypergeometricTermGosper"	无限 q 超几何项求和
	"QHypergeometricTermZeilberger"	明确 q 超几何项求和
	"QRationalFunction"	q 有理函数求和
	"RationalExponential"	有理指数总和
	"RationalFunction"	有理函数求和
	"RationalTrigonometric"	有理三角求和
	"TableLookup"	基于查表求和

Sum 可完成标准参考手册中给出的所有求和.
Sum 在 StandardForm 中使用输出.
Parallelize[Sum[f,iter]] 或 ParallelSum[f,iter] 在所有子内核上并行计算 Sum[f,iter]. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (6)

数值和：

符号和：

用 sum 输入和用输入下限，然后用输入上限：

无穷和：

不定和：

j 上的多重和先执行：

范围 (45)

基本用途 (11)

在有限范围上的有限和：

使用步长2：

使用元素列表：

绘制序列和部分（或累积）和：

在有限范围上的多重和：

使用不同的步长：

绘制多变量序列和部分和的图线；

最外层的和限可能依靠内部变量：

列表和标准迭代范围的组合和：

迭代列表中的元素可以是任何表达式：

无限范围上的和：

无限范围上的多元和：

符号范围上的和：

不定和：

差相当于加数：

不定和的差为有限和：

多元不定和：

混合不定和有限和：

使用 GenerateConditions 获得答案是正确的的条件：

Refine 或简化导致的答案：

使用 Assumptions 直接提供对 Sum 的假设：

不定和可能不收敛：

使用 Regularization 给某些不定和分配一个有限值：

将 N 应用于未计算的和使用 NSum：

不定和 (18)

表达式和一般函数的差：

多项式可以分为几个多项式的和：

分解多项式：

指数序列（几何级数）：

基为2对求和象基为对积分一样发挥同样的作用：

Fibonacci 和 LucasL 是基于 GoldenRatio 的指数序列：

指数多项式可以用几个指数多项式来求和：

有理函数可以用有理函数和 PolyGamma 来求和：

一个有理函数的每个差分可以求和得到一个有理函数：

一般来说，答案涉及到 PolyGamma：

可对每个有理函数进行求和：

一些有理指数函数可以用初等函数进行求和：

一般来说，答案涉及到特殊函数：

可对每个有理指数函数进行求和：

三角函数的多项式可以用三角函数求和：

乘以多项式：

乘以指数：

乘以指数和多项式：

超几何项序列：

对所有超几何项序列， DiscreteRatio 是有理数：

许多函数给出超几何项：

任何乘积是超几何项：

超几何项的差求和为超几何项：

一般需要另外的特殊函数：

对数求和：

某些 ArcTan 的总和可以用 ArcTan 来表达：

对 ArcCot 的总和也一样：

某些有指数的三角求和运用三角表达方式：

PolyGamma 和其他表达式的乘积：

HarmonicNumber 和 Zeta 有和 PolyGamma 序列类似的表现：

GammaRegularized 和：

BetaRegularized 和：

Q多项式函数：

多基的q多项式函数：

混合多基的q多项式函数：

Q有理函数：

一般情况下，需要 QPolyGamma 来表达答案：

双曲线函数的有理函数可以简化为q有理总和：

Q 超几何项：

完整序列一般化超几何项序列：

可对任何完整序列求和：

许多特殊函数是完整的：

周期序列：

定期乘以一个可求和序列：

折叠序列：

确定和 (14)

多项式求和仍为多项式：

多项式指数求和仍为多项式指数：

获得可求和的条件：

总可以对有理函数进行求和：

一般情况下，需要 RootSum 表达式：

某些有理指数函数求和为有理指数：

一般情况下，结果需要 LerchPhi：

不定和往往更简单：

三角多项式可以用三角函数来求和：

乘以多项式：

乘以有理函数：

乘以指数：

多项式和有理函数的对数总是可以被求和：

在无限的情况下，也存在收敛性分析：

获得收敛性条件：

某些超几何项求和仍为超几何项：

一般情况下，需要 HypergeometricPFQ 函数：

PolyGamma 和其他表达式的乘积：

组合有理数和有理指数：

Zeta 和 HarmonicNumber 与其他表达式的乘积：

这些通常称为欧拉和：

GammaRegularized 和：

BetaRegularized 和：

ChebyshevU 和：

ChebyshevT 和：

StirlingS1 和列，行，对角线一起乘以其他表达式：

StirlingS2 也同样：

周期序列乘以其他表达式：

不定和往往更简单：

折叠和：

多项和 (2)

几个变量的初等函数：

双超几何项之和：

推广和延伸 (4)

按步长 2 求和：

对任意列表的元素求和：

双倍的无穷和：

ParallelSum 并行计算 Sum：

Sum 可自动并行化，相当于使用 ParallelSum：

选项 (7)

Assumptions (1)

使用 Assumptions 对不定对数总和获得一个更简单的答案：

GenerateConditions (1)

产生一个求和的收敛条件：

对参数的某些值，在这个有理求和中的加数是奇异的：

GeneratedParameters (1)

产生不定和的任意常量：

任意常量的默认值是 0：

Method (1)

不同的方法可能会产生不同的结果：

结果应该是相同的：

Regularization (2)

许多求和可能不收敛：

通过使用 Regularization，许多求和可以给出答案：

每当求和收敛，正规化的价值是相同的：

VerifyConvergence (1)

默认情况下，执行收敛测试：

没有收敛测试，发散的求和可能会返回一个答案：

应用 (8)

高中代数 (1)

找到自然数幂求和的表达式：

验证一个众所周知的恒等式：

计算有限几何级数的总和：

大学微积分 (1)

计算无限几何级数的总和：

找到一个幂级数的总和和收敛半径：

帕斯卡尔三角形 (1)

研究帕斯卡尔三角形的属性：

对帕斯卡尔三角形中任何行的数求和是2 的幂：

对帕斯卡尔三角形中任何行的数交替求和是 0：

对帕斯卡尔三角形中第 n 行的数的平方求和是 Binomial[2n,n]：

概率和统计 (1)

泊松分布的均值和方差都等于泊松参数：

连续微积分 (1)

计算黎曼总和近似：

Pi 的近似值 (1)

用 Ramanujan 公式计算 π 的近似值：

Catalan 数 (1)

找到 CatalanNumber 的生成函数：

泰勒级数 (1)

构建函数的泰勒近似：

属性和关系 (10)

NSum 用数值方法计算和：

将 N 应用到为计算和上，等价用 NSum：

DifferenceDelta 是不定求和的逆操作：

有限求和：

Sum 实际上求解一个特殊的微分方程，类似用 RSolve：

可用几种求和变换包括 ZTransform：

GeneratingFunction：

ExponentialGeneratingFunction：

Sum 使用 SumConvergence 创造无穷级数收敛的条件：

Series 计算有限幂级数的展开：

SeriesCoefficient 计算第个幂级数系数：

FourierSeries 计算有限傅立叶级数展开：

Total 对一个列表中的元素求和：

Accumulate 产生一个列表的部分和：

可能存在的问题 (4)

求和可能不收敛：

使用 Regularization 可能给出一个有限值：

上求和极限假设为从下极限的一个整数距离：

使用 GenerateConditions 得到明确的假设：

该示例给出的阈值之上的非预期结果：

由于第一个参数的符号计算，出现这种情况：

强加过程求和，以获得预期的结果：

或者，阻止符号化评估避免不正确的结果：

Sum 给出对这个范例的预期外的结果：

这是由于对 PrimeQ 的符号化估计的结果：

当总和被以 Primes 形式表达时，返回未估计的和：

巧妙范例 (1)

高斯函数的阶距表示为 EllipticTheta 函数：

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