表达式关于 x 的导数：

二阶导数：

表达式在某点的导数：

函数在一般点 x 的导数：

这也可以使用流数符号得到：

在点 x==5 的导数：

这可以更轻松地使用流数符号得到：

在点 x==-1 的三阶导数：

关于符号函数的导数：

表达式关于 x 和 y 的偏导数：

混合偏导数 ：

混合偏导数 ：

关于复合表达式的导数：

关于不同复合表达式的导数：

向量表达式的导数：

矩阵表达式：

嵌套列表的导数：

表达式的向量导数，也称作梯度：

二阶向量导数，也称作海森矩阵：

矩阵导数：

创建基本导数的表格：

符号式函数的导数：

对 f 代入纯函数得到特定结果：

和的导数：

积：

商：

复合函数链式法则：

三个函数的乘积规则：

使用 Inactive 导数表明规则：

符号函数的偏导数：

对 f 代入具有两个变量的纯函数：

纯函数关于无自变量参数的导数：

得到的函数给出 在点 x 关于 a 的导数：

局部变量与导数变量无关：

符号函数在一个点的导数：

使用撇号，结果相同：

反函数的导数：

n 阶导数的乘积规则：

链式规则：

多项式和有理函数：

代数函数：

三角函数和反三角函数：

指数和对数函数：

双曲函数：

创建一个函数，为表达式列表制作一个格式美观的导数表格：

创建一个三阶导数表格：

创建一个双曲导数表格：

Gamma 的对数导数是 PolyGamma 函数：

艾里函数的导数以 AiryAiPrime 和 AiryBiPrime 的形式给出：

Zeta 的导数在原点处具有解析形式表达式：

具有初等导数的特殊函数：

导数以相同形式的函数表示的特殊函数：

JacobiSN 的导数：

JacobiCD 的导数：

LogIntegral 的导数：

ExpIntegralEi 的导数：

SinIntegral 的 n 阶导数：

创建一个特殊函数的导数表格：

分段函数的导数：

ConditionalExpression 的导数：

将符号函数转换为实数区间上的分段函数，并对其求导：

计算有限域上的分段导数：

点态定义工程函数的经典导数：

广义函数的分布式导数：

RealAbs 的导数：

RealSign：

它们的相应部分在复平面上不可微分：

Floor 的导数：

Ceiling：

程序式定义的函数导数：

D 逐项作用于 Equal 以计算隐函数的导数：

计算双变量隐函数的偏导数：

由方程组定义的隐式函数的偏导数：

列表的导数：

二阶导数：

向量值函数在广义值 t 处的一阶导数：

使用撇号进行相同的计算：

在 t==0 处的三阶导数：

使用撇号进行相同的计算：

矩阵的导数：

四阶导数：

存储为 SparseArray 的向量值函数的导数：

将结果转换为普通数组：

用 SymmetrizedArray 对象表示矩阵的导数：

将结果转换为普通数组：

标量函数的梯度：

海森矩阵：

矢量值函数的雅可比行列式：

二阶导数张量：

计算行列式关于原始矩阵的导数：

存储为 SparseArray 的向量值函数的梯度：

结果也是一个 SparseArray，仅含有非零项：

将结果转换为普通矩阵：

作为 SparseArray 计算的海森行列式：

梯度也可以作为 SparseArray 计算，但在此例中它实际上是稠密的：

以 SparseArray 计算雅可比行列式：

对未计算的积分求导：

傅立叶变换：

拉普拉斯变换：

卷积：

对积分的 Inactive 形式求导，得到积分的基本定理：

基本定理的更为广义的形式：

对未激活的 FourierTransform 求导：

验证正式结果：

对未计算的和式求导：

对虚拟变量求导得到零：

离散卷积：

对和式的 Inactive 形式求导：

ZTransform：

对未激活的 GeneratingFunction 求导：

验证正式结果：

对带有下标的变量微分，引入 KroneckerDelta 因子：

使用 Inactive 防止和式的展开：

必要时和式的指标将被重新命名，以避免名称的混淆：

对未激活的表格关于带下标的变量进行微分：

激活结果得到显式的向量结果：

对未激活的表格关于带下标的变量进行两次微分：

在这种情况下，只有第 j 个项非零：

在和式和表格中将任意符号用作变量的下标：

对下标变量的符号式表格进行微分：

激活结果，给出显式的梯度：

对下标变量的符号式表格进行两次微分，引入一个虚拟指标：

用显式值代替符号式变量：

使用另一个符号向量的符号向量微分：

向量关于自身进行向量微分得到单位矩阵：

定义带有撇号的导数：

用这个规则运算导数：

定义在某点处的导数：

定义二阶导数：

规定 f 和 g 的值和导数：

求该组合在 x=3 的导数：

用 Derivative 定义偏导数：

将 y 作为 x 的变量进行微分：

求解 y 的导数以实现隐式微分：

导数给出在某点处的切线斜率：

对于从基点 π 的小位移 h，切线给出对 f 很好的近似：

在很小且只在很小的绘图区域上，切线和 f 在视觉上无法区分彼此：

导数给出连接 {x,f[x]} 和 {x+h,f[x+h]} 的割线斜率极限：

可视化点 {1,f[1]} 的过程：

求函数的切线方程：

在 x=a 处的一般切线方程：

在 x=4 处的切线：

求函数的法线方程：

在 x=a 处的一般法线方程：

在 x=1 处的法线：

求通过某点的函数切线方程：

在 x=a 处的一般切线方程：

求 f[x] 通过 (0,-4) 的切线：

求平面曲线的拐点：

求函数的临界点：

根据二阶导数检测，这些是极大值或极小值：

可视化临界点：

求区间上满足中值定理的所有 c 值：

定义从 a 到 b 的割线：

定义与 c 的两个值关联的切线：

可视化沿原函数与割线平行的两条切线：

使用一阶导数表征函数：

求函数的临界点：

求函数的递增区域：

求函数的递减区域：

可视化结果：

使用二阶导数表征函数：

求函数的拐点：

求函数的正凹区域：

求函数的负凹区域：

可视化结果：

用 t=x^2 改变积分中的变量：

验证符号积分的结果：

求双变量的函数的临界点：

计算 和二阶偏导数的行列式的正负号：

根据二阶导数检测，头两个点（在图形中用红色和蓝色表示）为极小值点，第三个点（绿色）为鞍点：

求圆形螺旋的曲率，其半径为 r，螺距为 c：

使用 ArcCurvature 得到相同结果：

手动计算一元泰勒级数：

手动计算多元泰勒级数：

编写一个函数来自动执行此过程：

使用新函数重新进行上述计算：

梯度向量可以通过求函数的偏导数计算：

求函数 的梯度向量：

使用单位向量表示可视化梯度向量的方向：

平面上向量场的旋度可以通过减去其分量的导数计算：

求向量场 的旋度：

可视化向量场在一个点作为净“旋转”的二维旋度，红色和绿色分别表示顺时针和逆时针旋度，半径与旋转幅度成正比：

向量场的散度可以通过分量导数的加和计算：

求二维向量场的散度：

可视化向量场在一个点作为净“流”的二维散度，分别用红色和绿色表示流出和流入，半径与流量大小成正比：

构建满足隐函数 y[x] 的微分方程：

使用 D 指定普通和偏微分方程：

这些可以通过 DSolve 求解：

定义两个空间变量的波动方程：

定义函数及第一次导数的初始值：

指定边界条件：

使用 DSolve 求解：

从 Inactive 和式中提取几个项：

二维波在垂直方向进行周期运动：

使用 D 指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在单位圆盘上的4个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

使用 D 指定积分微分方程：

得到通解：

指定初始条件，得到特解：

对 a 取不同值时解的图形：

求微分方程的二次多项式解：

抛物体在 t 时刻的高度由下式给出：

计算在 t 时刻的速度：

计算在 t 时刻的加速度：

求抛物体何时到达最高点：

求抛物体的最高点：

作为时间函数的圆面积由下式给出：

计算面积的变化率：

求半径为 10 m 的面积的变化速率，如果半径的递增速率为 5m/s：

粒子位置由下式给出：

计算粒子的速度、加速度、加加速度、突弹跳变（snap）、裂变（crackle）和变形（pop）：

两个电阻并联的电路总电阻由下式给出：

已知 R₁ 和 R₂，计算 R_T：

求总电阻的变化速率：

计算给定值的总电阻的变化速率：

边长为 l 的立方体体积由下式给出：

立方体的表面积由下式给出：

使用链式法则计算立方体体积相对于表面积的变化速率：

用面积的形式求解 l，并代入结果：

求隐函数在 (1,) 处的切线方程：

计算在 x=1 处的斜率：

在 x=1 处的切线：

可视化切线：

求隐函数斜率等于 时点的位置：

函数之间的关系由下式给出：

求 z[t] 的导数：

用给定值计算 z'[t]：

矩形篱笆总长 2000 英尺，其中一条边与谷仓毗邻，求该篱笆的最大面积：

计算面积，用宽度表示：

求最大值：

根据二阶导数检测，该值为真实最大值：

另外，也可以用长度表示面积：

可视化长度变化时面积的变化：

求曲线上到一点 (1,5) 的最短距离：

计算距离，用 y 表示：

求最小值点：

根据二阶导数检测，这是最小值：

可视化距离随位置的变化：

用最少的材料制作一个可以容纳2升水的无盖圆柱体，求圆柱体的尺寸：

利用体积约束条件计算高度，用半径表示：

计算表面积，用半径表示：

对应于最小表面积的半径：

根据二阶导数检验，这是最小值：

计算最小配置下的半径、高度和表面积：

可视化尺寸随半径的变化：

求两个函数的比值在 x0 时的极限：

直接求解极限会导致类型为 的未定式：

可以使用洛比达法则，因为在 附近的区间上， 和 均有定义，且 :

事实上， 和 是连续的，且 ，因此 显然可以得到：

使用 Limit 验证结果：

可视化这两个函数及其比值：

求两个函数的比值在 x∞ 时的极限：

直接求解极限会导致类型为 的未定式：

可以使用洛比达法则，因为对于 ， 和 均有定义，且有 ：

然而，使用一阶导数也会导致未定式：

二阶导数为常数，明显满足洛比达法则的条件：

因此 显然可以得到：

使用 Limit 验证结果：

求在 x0 时两个函数之积的极限：

直接求解极限将导致类型为 0×∞ 的未定式：

注意到 未定义：

然而， 存在，且对于所有 均为正，对于所有 也存在且为负：

由于 对全部实数 有明确定义，可以应用洛比达法则：

等式右边的比值给出极限易于计算的连续表达式：

计算幂级数的系数：

通过对 关于 在 处求导，推导 的解析形式：

现在首先计算 的积分，然后关于 在 处求导：

最终结果：

验证结果：

通过对 关于 在 处求导，推导 的解析形式：

计算 ，然后求导：

结果：

验证结果：