计算当 n 趋近于 Infinity 时序列的极限：

计算当 n 趋近于 -Infinity 时序列的极限：

计算多变量序列的嵌套极限：

计算一系列序列的极限：

求有理序列的极限：

几何函数序列：

指数函数序列：

三角函数序列：

反三角函数序列：

对数函数序列：

求 ArcTan[Log[n]] 的极限：

计算二项式序列的极限：

涉及 FactorialPower 的序列的极限：

涉及 Factorial 的序列的极限：

计算涉及 Fibonacci 和 LucasL 的序列的极限：

涉及 Pochhammer 的极限：

收敛交错序列：

发散交错序列：

振荡交错序列：

涉及周期序列的极限：

最终周期序列：

密集非周期序列：

收敛分段函数序列：

发散分段函数序列：

周期性条件下的分段函数序列：

涉及 Floor 的极限：

计算涉及 Prime 的极限：

Prime 接近于 ：

涉及 PrimePi 的极限：

PrimePi 接近于 ：

涉及 PartitionsP 和 PartitionsQ 的极限：

涉及其它数论函数序列的极限：

计算嵌套序列的极限：

绘制序列和它的极限：

多变量序列的极限：

计算涉及 Inactive 和的序列的极限：

Inactive 和的嵌套极限：

交换 DiscreteLimit 和 Sum 的顺序，分两步计算，获得同样的结果：

涉及 Inactive 积的序列的极限：

Inactive 积的嵌套极限：

交换 DiscreteLimit 和 Product 的顺序，分两步计算，获得同样的结果：

涉及 Inactive 连分数的序列的极限：

Inactive 连分数的嵌套极限：

通过运用 DiscreteLimit 和 ContinuedFractionK，分两步计算，获得同样的结果：

指定参数的假设：

不同的假设会给出不同的结果：

不陈述条件，返回结果：

只有 y>1 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，则不进行计算，直接返回：

默认情况下，会生成返回唯一结果的条件：

默认情况下，如果只有特殊值使结果无效，则不会生成条件：

当设置为 GenerateConditions->True 时，即便是非通用条件，也会汇报：

用缺省方法计算序列的极限：

通过调用 Limit 获取同样的答案：

所给序列不是周期性的，因此针对周期性序列的方法没有用：

DiscreteLimit 计算周期为任意长度的序列的极限：

用 PerformanceGoal 来避免此种花费时间较长的计算：

Method 选项会覆盖 PerformanceGoal：

半径为 r、边数为 n 的正多边形的周长：

当 n->∞ 时，周长趋近于半径为 r 的圆的周长：

半径为 r、边数为 n 的正多边形的面积：

当 n->∞ 时，面积趋近于半径为 r 的圆的面积：

可视化当 n 增加时内接多边形及其近似周长和面积：

考虑用 2n 个圆柱覆盖半径为 r 的球，如图所示：

圆柱的体积为：

取当 n->Infinity 时的 DiscreteLimit 给出球的体积：

与直接算出的结果比较：

考虑下列函数和一组由其定义的长方形：

在区间 [0,2] 上，n5，长方形为：

这些矩形的面积定义了近似曲线下面积的黎曼和：

用 DiscreteLimit 获取精确答案：

用 Integrate 直接获得同样的面积：

可视化该函数及其它三个函数的计算过程：

用求有限和的极限的方式计算无限和：

用 Sum 获得同样的答案：

以下序列定义了一个收敛级数：

求级数的值：

用 Sum 直接计算结果：

证明无穷级数是发散的，从有限个项的和开始：

级数是发散的，因为有限和的极限不存在：

用 SumConvergence 和 Sum 确认级数是发散的：

用 Regularization 获取级数的阿贝尔和：

用有限和的嵌套极限计算双重无穷和：

用 Sum 直接获取同样的答案：

用有限积的极限计算无穷积：

用 Product 获取同样的答案：

用重复无穷小变换的极限构造旋转矩阵：

与直接构建的结果相比较：

用比例检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

计算该级数的 DiscreteRatio：

级数收敛，因为比值的极限小于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用根检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

级数收敛，因为第 n 个根的极限小于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用 Raabe 检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

Raabe 检验法在此是适用的，因为比例检验法的结果不确定：

级数收敛，因为下式的极限大于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用发散检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

级数收敛，因为一般项的极限不是 0：

用 SumConvergence 验证结果：

证明下列序列收敛于 0，并用 ϵ=1/7 检验经典定义：

计算极限：

设置 的值：

用 Reduce 显示对于所有的 n>=12，定义成立：

用 DiscretePlot 验证结果：

证明下列序列发散于 Infinity，并用 M=35 检验经典定义：

计算极限：

设置 M 的值：

用 Reduce 显示对于所有的 n >= 10，定义成立：

用 DiscretePlot 验证结果：

确定各项由下式给出的调和级数 的收敛性：

标准检验，如比例检验给出的结果不确定：

定义以下辅助级数 ：

的项由长度为 的 项组成：

请注意 ：

每串的和为 ，所以前 个项的和为 :

的部分和被称为调和数 ：

对于任意正整数 ，，所以 最终会超过 ，并发散于 ：

这意味着 的和不收敛：

但发散是较慢的，要多于 个项才能超过 :

计算用 RSolveValue 指定的非线性递归序列的极限：

计算用 RSolveValue 指定的三角递归序列的极限：

计算 的值：

用序列的极限计算 的值：

用 Sum 的极限计算 的值：

用序列的极限计算 的值：

用序列的极限计算 EulerGamma：

用涉及 Fibonacci 的序列计算黄金比例：

用项为符号的序列的极限表示 ：

用序列的极限表示 Log[x]：

Stolz–Cesàro 定理是 L'Hôpital 规则的离散版本，在合适的条件下可用于计算序列之比的极限. 该定理指出：

在由下式定义的序列上验证 Stolz–Cesàro 定理：

计算差分比的极限：

用 DiscreteLimit 直接获取同样的结果：

绘制序列和极限：

在由下式定义的序列上验证 Stolz–Cesàro 定理：

计算差分比的极限：

用 DiscreteLimit 直接获取同样的结果：

绘制序列和极限：

一个算法运行时间函数 被认为是 "little-o of "，写作 ，如果 ：

同样， 还被认为是 "little-omega of "，写作 ，如果 ：

如果 ，那么 ：

两个函数不可能共享两种关系：

而且，函数和自身之间也不存在这两种关系：

因此， 和 在算法运行时间空间 (runtime space) 上定义了部分关系：

对于较大的输入，如果与 关联的算法要比与 关联的算法快的多，则 ：

则表示相反的关系：

请注意这两者不是完全相反的，因为 和 是无法相比的：

一个算法运行时间函数 被认为是 "big-theta of "，写作 ，如果下式成立：

假如一个算法需要 （次数为 的多项式）这么长的时间来运行：

该函数与单项式 的比在无穷大处趋近于首项系数 ：

由于序列的极限存在，其最大和最小极限必须都必须等于此值：

对于算法运行时间， 必须是一个正的有限大的数字，所以每个多项式算法都可写为 ：

因此，在确定大型输入的运行时间时，只有多项式中的首项很重要：

研究快速傅里叶变换的渐进复杂度：

计算渐进复杂度：