ParametricPlot3D

ParametricPlot3D[{f_x,f_y,f_z},{u,u_min,u_max}]

生成由变量 u 参数化的三维空间曲线，其中从 u_min 到 u_max.

ParametricPlot3D[{f_x,f_y,f_z},{u,u_min,u_max},{v,v_min,v_max}]

生成由 u 和 v 参数化的三维空间曲面.

ParametricPlot3D[{{f_x,f_y,f_z},{g_x,g_y,g_z},…},…]

同时绘制几个对象.

ParametricPlot3D[…,{u,v}∈reg]

将参数 {u,v} 视为位于几何区域 reg 中.

更多信息和选项

ParametricPlot3D 在一维域上绘制时称为参数化曲线，在二维域上绘制时称为参数化曲面. 如果曲面是通过将直线沿路径扫过创建的，则称为直纹曲面.
对于参数 u，将针对 u 的不同值对 {f_x,f_y,f_z} 进行计算，以创建形式为 {f_x[u],f_y[u],f_z[u]} 的曲线. 可视化的是曲线 .
对于两个参数 u 和 v，将针对 u 和 v 的不同值对 {f_x,f_y,f_z} 进行计算，以创建点 {f_x[u,v],f_y[u,v],f_z[u,v]} 组成的曲面. 它可视化了曲面 .

曲线和曲面可能与自身相交或重叠.
在 f_i 运算为除实数以外的任何值的点处会留下间距.
范围 u_min、u_max、v_min 和 v_max 可以是实数或 Quantity 表达式.
区域 reg 可以是一维或二维的任何 RegionQ 对象.
ParametricPlot3D 将变量 u 和 v 视为局部变量，相当于使用 Block.
ParametricPlot3D 具有属性 HoldAll，只在将具体的数值赋给变量后才计算、、….
在某些情况下，在将具体数值赋给变量之前，用 Evaluate 以符号方式计算、、… 可能更高效.
可将以下封装 w 用于 {f_x,f_y,f_z}：

	Annotation[{f_x,f_y,f_z},label]	为 {f_x,f_y,f_z} 提供注释
	Button[{f_x,f_y,f_z},action]	当点击 {f_x,f_y,f_z} 曲面时执行 action
	Callout[{f_x,f_y,f_z},label]	用 callout 标注函数
	Callout[{f_x,f_y,f_z},label,pos]	把标注放在相关位置 pos
	EventHandler[{f_x,f_y,f_z},events]	为 {f_x,f_y,f_z} 定义通用事件处理程序
	Hyperlink[{f_x,f_y,f_z},uri]	把函数变成超链接
	Labeled[{f_x,f_y,f_z},label]	标注函数
	Labeled[{f_x,f_y,f_z},label,pos]	把标签放在相关位置 pos
	Legended[{f_x,f_y,f_z},label]	在图例中标识函数
	PopupWindow[{f_x,f_y,f_z},cont]	为函数添加弹出窗口
	StatusArea[{f_x,f_y,f_z},label]	鼠标悬停时在状态区域显示
	Style[{f_x,f_y,f_z},styles]	用指定的样式显示函数
	Tooltip[{f_x,f_y,f_z},label]	为函数添加提示条
	Tooltip[{f_x,f_y,f_z}]	用函数作为提示条

可在多个层级上应用封装 w：
w[{f_x,f_y,f_z}] 封装 {f_x,f_y,f_z}

w[{{f_x,f_y,f_z},{g_x,g_y,g_z},…}] 封装一组曲线

w₁[w₂[…]] 使用嵌套的封装
Callout、Labeled 和 Placed 可使用以下位置 pos：

	Automatic	自动放置标签
	Above, Below, Before, After	曲面周围的位置
	u	参数 u 处靠近曲面位置
	{x,y,z}	靠近{x,y,z} 的位置
	Scaled[s]	沿曲面的缩放位置 s
	{s,Above},{s,Below},…	沿曲面的位置 s 处的相关位置
	{pos,epos}	放置在曲面相关位置 pos 上的标签内的位置 epos

ParametricPlot3D 具有与 Graphics3D 相同的的选项，不同之处及更多选项如下所示： [所有选项的列表]

Axes	True	是否绘制坐标轴
BoundaryStyle	None	如何绘制曲面的边界线
ColorFunction	Automatic	如何确定曲线和曲面的颜色
ColorFunctionScaling	True	是否缩放 ColorFunction 的参数
EvaluationMonitor	None	每次运行函数时要计算的表达式
Exclusions	Automatic	要排除的 u 点或 u,v 曲线
ExclusionsStyle	None	在要排除的点或曲线处绘制什么内容
LabelingSize	Automatic	标注和标签的最大尺寸
MaxRecursion	Automatic	允许的递归子划分的最大数量
Mesh	Automatic	在每个方向上绘制多少个网格
MeshFunctions	Automatic	如何确定网格线的位置
MeshShading	None	如何设置网格线之间区域的色调
MeshStyle	Automatic	网格线的样式
Method	Automatic	细化曲面的方法
NormalsFunction	Automatic	如何确定有效的曲面法线
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
PlotLabels	None	用于曲面的标签
PlotLegends	None	曲面的图例
PlotPoints	Automatic	每个参数初始样本点的数量
PlotRange	Automatic	要包含的值的范围
PlotStyle	Automatic	指定每个对象的样式的图形指令
PlotTheme	$PlotTheme	绘图的整体主题
RegionFunction	(True&)	如何确定是否包含一个点
ScalingFunctions	None	如何缩放个别坐标
TextureCoordinateFunction	Automatic	如何决定纹理坐标
TextureCoordinateScaling	True	是否缩放 TextureCoordinateFunction 的参数
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

PlotLegends 的典型设置包括：

	None	没有图例
	Automatic	自动决定图例
	"Expressions"	用 f₁、f₂、… 作为图例标签
	{lbl₁,lbl₂,…}	用 lbl₁、lbl₂、… 作为图例标签
	Placed[lspec,…]	指定图例的位置

对于所有的参数值，所有函数（等）应给出实数. 曲面上的结果不为实数的地方将留下孔洞.
对于曲线，缺省设置 PlotPoints->Automatic 对应于 PlotPoints->75，对于曲面则为 PlotPoints->{15,15}.
ParametricPlot3D 最初在 PlotPoints 指定的多个等距采样点处对每个函数进行计算. 然后使用自适应算法来选择额外的样本点，在每个参数中最多细分 MaxRecursion 次.
应该注意的是，由于使用有限数量的样本点，ParametricPlot3D 可能会遗漏函数中的特征. 如果想要检查所得结果是否正确，应尝试增大 PlotPoints 和 MaxRecursion 的设置.
如果无法绘制达到一定平滑程度的曲线，则 On[ParametricPlot3D::accbend] 可以使 ParametricPlot3D 输出一条信息.
对于曲线，缺省设置 Mesh->Automatic 对应于 None，对于曲面则为 15.
对于曲线，缺省设置 MeshFunctions->Automatic 对应于 {#4&}，对于曲面则为 {#4&,#5&}.
提供给 MeshFunctions 和 RegionFunction 中的函数的参数是 x、y、z、u 和 v. 默认情况下，提供给 ColorFunction 和 TextureCoordinateFunction 中的函数的是这些参数缩放过的版本.
在每条曲线或每个曲面的所有地方对函数进行计算.
ScalingFunctions 的可能设置包括：
{s_x,s_y,s_z} 缩放 x、y 和 z 坐标轴

{s_x,s_y,s_z,s_u} 缩放 u 参数空间

{s_x,s_y,s_z,s_u,s_v} 缩放 u 和 v 参数空间
ScalingFunctions 的可能设置包括：
{s_x,s_y,s_z} 缩放 x、y 和 z 坐标轴
常见的内置缩放函数 s 包括：

	"Log"		对数刻度，自动进行标记
	"Log10"		以 10 为底的对数刻度，用 10 的幂进行标记
	"SignedLog"		类似对数的刻度，包含 0 和负数
	"Reverse"		反转坐标的方向

缩放 u 或 v 参数空间将影响如何对绘图采样，但不影响整体的视觉外观.
ParametricPlot3D 返回 Graphics3D[GraphicsComplex[data]].
影响三维曲面的主题包括：

		"DarkMesh"	暗色网格线
		"GrayMesh"	灰色网格线
		"LightMesh"	浅色网格线
		"ZMesh"	垂直分布的网格线
		"ThickSurface"	使曲面有厚度

所有选项的列表

AlignmentPoint	Center	在图形内对齐的缺省点
AspectRatio	Automatic	高与宽的比
Axes	True	是否绘制坐标轴
AxesEdge	Automatic	在哪条边上放置轴
AxesLabel	None	坐标轴标签
AxesOrigin	Automatic	坐标轴交叉的位置
AxesStyle	{}	指定坐标轴样式的图形指令
Background	None	图形背景色
BaselinePosition	Automatic	如何与环绕文本基线对齐
BaseStyle	{}	图形的基本样式指定
BoundaryStyle	None	如何绘制曲面的边界线
Boxed	True	是否绘制边框
BoxRatios	Automatic	绑定的三维盒框比例
BoxStyle	{}	盒框的样式指定
ClipPlanes	None	剪切平面
ClipPlanesStyle	Automatic	剪切平面的样式指定
ColorFunction	Automatic	如何确定曲线和曲面的颜色
ColorFunctionScaling	True	是否缩放 ColorFunction 的参数
ContentSelectable	Automatic	是否允许内容选择
ControllerLinking	False	连接到外部旋转控制器的时间
ControllerPath	Automatic	尝试使用的外部控制器
Epilog	{}	在主图形显示后显示的二维图形基元
EvaluationMonitor	None	每次运行函数时要计算的表达式
Exclusions	Automatic	要排除的 u 点或 u,v 曲线
ExclusionsStyle	None	在要排除的点或曲线处绘制什么内容
FaceGrids	None	在边框上绘制的网格线
FaceGridsStyle	{}	网格面的样式指定
FormatType	TraditionalForm	文本的缺省格式类型
ImageMargins	0.	图形周围预留的边幅
ImagePadding	All	允许为标签等设置的填充范围
ImageSize	Automatic	渲染图形的绝对尺寸
LabelingSize	Automatic	标注和标签的最大尺寸
LabelStyle	{}	标签的样式指定
Lighting	Automatic	使用的模拟光照
MaxRecursion	Automatic	允许的递归子划分的最大数量
Mesh	Automatic	在每个方向上绘制多少个网格
MeshFunctions	Automatic	如何确定网格线的位置
MeshShading	None	如何设置网格线之间区域的色调
MeshStyle	Automatic	网格线的样式
Method	Automatic	细化曲面的方法
NormalsFunction	Automatic	如何确定有效的曲面法线
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
PlotLabel	None	图形的标签
PlotLabels	None	用于曲面的标签
PlotLegends	None	曲面的图例
PlotPoints	Automatic	每个参数初始样本点的数量
PlotRange	Automatic	要包含的值的范围
PlotRangePadding	Automatic	值域范围填充的程度
PlotRegion	Automatic	要填充的最终显示区域
PlotStyle	Automatic	指定每个对象的样式的图形指令
PlotTheme	$PlotTheme	绘图的整体主题
PreserveImageOptions	Automatic	当显示相同图形的一个新版本时，是否保留图像选项
Prolog	{}	在主图形之前渲染的二维图形基元
RegionFunction	(True&)	如何确定是否包含一个点
RotationAction	"Fit"	互动旋转后渲染的方式
ScalingFunctions	None	如何缩放个别坐标
SphericalRegion	Automatic	是否将外切球体调整适合最后显示区域
TextureCoordinateFunction	Automatic	如何决定纹理坐标
TextureCoordinateScaling	True	是否缩放 TextureCoordinateFunction 的参数
Ticks	Automatic	指定刻度
TicksStyle	{}	刻度的样式指定
TouchscreenAutoZoom	False	当在一个触摸屏上激活时，是否放大为全屏
ViewAngle	Automatic	视图的角度
ViewCenter	Automatic	在中心显示的点
ViewMatrix	Automatic	显式转换矩阵
ViewPoint	{1.3,-2.4,2.}	观察位置
ViewProjection	Automatic	用于渲染远离观察者的对象的投影方法
ViewRange	All	要包含的观察距离范围
ViewVector	Automatic	模拟相机的位置和方向
ViewVertical	{0,0,1}	垂直的方向
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (5)

绘制一个参数曲面：

绘制一条空间曲线：

绘制多条参数曲面：

绘制曲面的简单样式：

绘制切割的曲面：

范围 (33)

采样 (9)

在函数值变化较快的位置，用更多的样本点：

自动选择绘图区域：

排除非实数的函数范围：

当函数存在不连续时，曲面被分割：

用 PlotPoints 和 MaxRecursion 控制相应的取样：

用 PlotRange 强调感兴趣的区域：

用 Exclusions 分割得到的曲面：

可以用区域来指定参数的域：

两个参数：

还可以用 MeshRegion 来指定参数的域：

标签和图例 (10)

使用 Callout 添加表达式作为标签：

使用 PlotLabels 标签曲面：

使用任何文本作为标签：

标签一个曲面：

把标签延曲线放置：

把标签放在缩放的位置：

把标签相对于曲面放置：

用 PlotLabels 标签曲线：

在 {x,y,z} 位置指定标签：

包括每条曲线的图例：

包括每个曲面的图例：

使用 Legended 为指定的曲线提供图例：

使用 Placed 改变图例位置：

演示 (14)

对不同的曲线提供不同的样式：

对不同的曲线和区域提供明确的样式：

添加图例识别曲线和区域：

选用显示详细刻度、网格线和图例的主题样式：

增加曲面的厚度：

用 Opacity 显示内部结构和用 Specularity 处理深度效果：

增加标签：

对于每个曲线或区域提供一个交互的 Tooltip：

创建一个叠加的网格：

设置网格层之间区域的样式：

按参数值着色：

用已命名的颜色方案：

删除部分曲线或曲面：

用 ScalingFunctions 反转 z 轴：

缩放参数而不是坐标轴：

选项 (87)

BoundaryStyle (4)

缺省下不绘制边界线：

用红色的粗边界线：

通过 RegionFunction 剪切的曲面上绘制边界：

由 Exclusions 剪切的曲面上部绘制边界：

Boxed (1)

不绘制边框的边线：

BoxRatios (2)

根据实际绘图值选择边长度的比例：

设置比例为 {1,1,1}：

ColorFunction (5)

按，，或尺度指对曲线着色：

按，，，或尺度值对曲面着色：

用一个命名的颜色梯度：

ColorFunction 比 PlotStyle 有更高的优先级：

对于参数用红色显示：

ColorFunctionScaling (1)

按绝对值着色：

EvaluationMonitor (3)

显示ParametricPlot3D 在参数空间中的何处取样：

显示在空间中，ParametricPlot3D 的取样：

统计取样点的次数：

Exclusions (6)

这用自动方法计算排除,在这个例子中根据分支线：

指定不计算任何排除：

将排除集合作为方程给出：

给出排除的两个集合：

使用自动计算和明确排除：

提供一个明确的排除点的列表：

ExclusionsStyle (3)

边界用蓝色粗线：

边界用蓝色粗线，其中曲面用黄色：

用红线来标记排除点：

LabelingSize (2)

文本标签按实际大小显示：

指定文本的大小：

调整图像标签以适应图：

指定标签大小：

MaxRecursion (2)

细化变化较大的曲面：

细化变化较大的曲线：

Mesh (5)

显示初始和最后取样的网格：

在参数方向放置 10 条等间隔的网格层：

在不同方向用不同数量的网格线：

在参数的网格用明确的值列表，在参数不绘制网格：

对于网格，用明确的值和样式：

MeshFunctions (3)

在，，和方向用等间隔的网格：

在，，，和方向用等间隔的网格：

在方向用 5 条网格 (红色)，在方向用 10 条网格 (蓝色)：

MeshShading (9)

将一个元胞自动机阵列映射到一个球体上：

在方向交替使用红色和蓝色弧度：

用 None 清除分段：

MeshShading 可以和 PlotStyle 连用：

MeshShading 在样式方面比 PlotStyle 有更高优先级：

对于某些分段，通过设置 MeshShading 为 Automatic 来使用 PlotStyle：

MeshShading 可以和 ColorFunction 连用：

填充多个网格函数定义的区域：

用 FaceForm 对于一个曲面的不同边设置不同的样式：

MeshStyle (3)

自动选择网格样式：

在方向用红色网格：

在方向用红色网格，在方向用蓝色网格：

NormalsFunction (3)

自动计算法向量：

用 None 获得多个多面体的平滑阴影：

改变用于曲面上的有效法向量：

PerformanceGoal (2)

产生高质量的图形：

强调执行，是以牺牲质量为代价的：

PlotLabels (6)

指定文本标签一条曲线：

使用 Placed 把标签放置在曲线上：

使用 Callout 画一条引导线：

每条曲线的标签放在不同的位置：

PlotLabels->"Expressions" 使用函数作为曲线标签：

使用标注识别曲线：

在曲面的位置上指定标注标签：

PlotLegends (3)

用占位符来标识绘图样式：

使用指定标签：

使用相应的表达式：

用 Placed 控制图例的位置：

用 SwatchLegend 改变外观：

PlotPoints (1)

用更多的初始点来获得更平滑的图形：

PlotStyle (4)

用不同的样式指令：

在缺省下多个曲线选择不同的样式：

对不同的曲线和区域明确指定样式：

在曲面内使用不同的样式：

PlotTheme (3)

选用刻度简单，色彩鲜明的主题样式：

去掉网格线和边界线：

为三维打印生成有厚度的曲面：

RegionFunction (3)

在，，，和上选择一个区域：

在参数空间上选择一个区域：

在参数空间选择部分曲线：

ScalingFunctions (6)

默认情况下，在所有方向上使用线性刻度：

在 z 方向上使用对数刻度：

用移位的对数刻度来显示有负位置的函数：

用 ScalingFunctions 反转坐标的方向：

使用由函数及其逆定义的刻度：

缩放参数空间而不是坐标轴：

缩放 u 参数：

缩放 v 参数：

TextureCoordinateFunction (4)

默认情况下，Textures 使用缩放的和参数：

使用和坐标：

使用没有缩放的坐标：

使用纹理来突出显示参数是如何映射到表面：

TextureCoordinateScaling (1)

对纹理使用缩放或无缩放的坐标：

WorkingPrecision (2)

用机器精度算法计算函数：

用任意精度算法计算函数：

应用 (7)

包含一个平面的简单参数曲面：

圆柱体：

圆锥体：

球体：

椭圆体：

圆环：

包含 Moebius 带的著名曲面：

克莱因瓶：

实现一个软体外壳的模型 [更多信息]：

通过提供辅助曲面强调一个空间曲线：

显示两个图形：

Lorenz 方程 [更多信息]：

根据曲率和转矩计算一个参数曲线 [更多信息]：

绘制所造成的空间曲线：

显示 Enneper 的最小化曲面：

属性和关系 (6)

对于曲面，Plot3D 是 ParametricPlot3D 的一个特例：

对于圆柱坐标和球坐标，用 RevolutionPlot3D 和 SphericalPlot3D：

对于二维曲线和区域用 ParametricPlot：

对于隐式曲面和区域用 ContourPlot3D 和 RegionPlot3D：

对于数据用 ListPlot3D 和 ListSurfacePlot3D：

使用 ListLinePlot3D 绘制通过点列表的曲线：

可能存在的问题 (3)

有多重覆盖的曲面可能会呈现异常行为：

对于封闭曲面用 BoundaryStyle 和 MeshStyle：

自动 PlotRange 依赖于参数化：

用不同的参数化：

或用 PlotRange->All：

巧妙范例 (1)

球体上的变化：

顶部

	w[{f_x,f_y,f_z}]	封装 {f_x,f_y,f_z}
	w[{{f_x,f_y,f_z},{g_x,g_y,g_z},…}]	封装一组曲线
	w₁[w₂[…]]	使用嵌套的封装

	{s_x,s_y,s_z}	缩放 x、y 和 z 坐标轴
	{s_x,s_y,s_z,s_u}	缩放 u 参数空间
	{s_x,s_y,s_z,s_u,s_v}	缩放 u 和 v 参数空间