Wolfram言語に組み込まれている関数には，一定の規約に従って名前が付けられている．他のほとんどの組込み関数と同様に，関数にも省略なしの英語単語からなる名前が使われている．例外として，普段よく使う関数には慣用的な省略名が使われている．例えばモジュロ関数がこれに当たり，その関数名はModuloではなくModである．

人名に由来する関数には人名と関数の型を合成した書式 PersonSymbol が使われ名前が付けられている．例えば，ルジャンドル(Legendre)の多項式 を計算する関数はこの書式に従ってLegendreP[n,x]となる．この呼び方だと関数名が長くなりがちだが，曖昧さや混乱を排除することができる．

関数の引数の並び順に関して，上付きと下付きの添字を同時に含む関数では，下付き文字の引数は上付きのものより先に置かれる．つまり，例えば，ルジャンドルの多項式 ならLegendreP[n,m,x]と記述される．

記号計算の目的は，変数が取り得るなるべく多くの値において有効な式を得ることである．しかし，是が非でもすべての変数のすべての値で有効な式を求めるということは，場合によっては，実際的なやり方ではない．

Wolfram言語がもし自動的に を0で置き換えなかったら，ほとんどの記号計算はあまり先に進まない．この置換操作は実践的な理由で行われるが，パラメータが特殊な値を取る場合には，不正な結果の原因となるので使用には注意しなければならない．

Wolfram言語は，その基本的な動作として，可能であれば，個々の変数が取り得るほとんどすべての値において求まる結果が有効となるように注意深く設定されている．

IntegerPart[x]とFractionalPart[x]は，それぞれ小数点の左側の数値と右側の数値に分けるものととらえることができる．Round[x]は，整数に近い数を強制的に厳密な整数に変換するためによく使われる．Floor[x]とCeiling[x]は，非整数間隔を持つ数の列でいくつ要素があるかを調べるためによく使われる．

Boole[expr]はTrueとFalseを1と0に変換する基本的な関数である．これは「特性関数」あるいは「定義関数」と呼ばれることもある．

異なる領域に対しては異なる形式の関数があると便利なことが多い．Piecewiseを使うとこうすることができる．

区分関数は異なる領域間を離散的に切り換えるシステムに現れる．これは，スプラインや有限要素を含む多くの計算方法の中心にもなっている．RealAbs，UnitStep，Clip，RealSign，Floor，Max等はその特殊例である．Wolfram言語は区分関数を記号的にも数値的にも扱える．

Wolfram言語には値上に一様分布する擬似乱数を生成するための関数が3つある．

RandomRealとRandomComplexを使うと，任意精度の擬似乱数を得ることができる．

擬似乱数を繰返し発生させると，特定なパターンに従わない「典型的な」，つまり一般的な数列を得ることができる．このような乱数列は各種の計算用途で使われる．

擬似乱数の一般的な用途として，仮定の数値的な判定への応用がある．例えば，2つのシンボル式が数学的に等しいかどうかを判定するとする．これは，「典型的な」数値をシンボル的パラメータに代入し，数値的な2つの結果を比較することで行うことができる．（ただし，数値精度の問題や，多価複素関数を扱った問題では，このような比較の解釈には注意を要する．）

擬似乱数の他の一般的用途として，確率的現象のシミュレーションやサイズの大きい母集団からの標本抽出がある．Wolfram言語が数の範囲に対して生成する乱数は，指定された範囲で必ず一様に分布するようになっている．

関数RandomInteger，RandomReal，RandomComplexは他のほとんどのWolfram言語組込み関数と違った特徴を持っている．つまり，使われるたびに潜在的な出力値は違ってくる．従って，これらを計算でを使うと，答は使うたびに違ってくる．

RandomInteger，RandomReal，RandomComplexで得られる数列は厳密には「真の乱数」ではないが，実用上「十分に乱数的」である．乱数列は，特定の「種（シード）」を開始点として，特定の数学アルゴリズムを適用することで生成される．同じシードが与えられたなら，同じ乱数からなる系列が得られる．

Wolfram言語が起動されたときの時間が（秒以下の精度で記録される）読み込まれ，擬似乱数ジェネレータのシードとして保存される．このため，Wolfram言語を別に起動すれば，擬似乱数列はほとんどいつでも違うものになる．

ここで，毎回必ず同じ乱数系列を使いたいのであれば，同じシードをその都度添加する．このように特別にシードの添加を行うにはSeedRandomを使う．

RandomInteger，RandomReal，RandomComplexが呼び出されるたびに，それに対応する擬似乱数ジェネレータの内部状態は変わる．従属的な計算でこれらの関数を続けて呼び出すと，主計算に返される数に影響が出るかもしれない．これを防ぐには，BlockRandomの内部で計算を実行することにより関数の使用による影響を局所的なものにするとよい．

多くの分野で，非一様分布からの乱数が必要とされる．Wolfram言語には多くの分布が組み込まれている．RandomIntegerやRandomRealに対する範囲の代りに適切なパラメータで分布を生成することができる．

リストからの選択するためにも，擬似乱数を使うことができる．RandomChoiceは代替付きで選択し，RandomSampleは代替なしで選択する．

選択肢の中の少なくとも1つは出力に繰り返される確率が非常に高い．これは，要素が選ばれると，それが直ちに補充されるからである．しかし，実際の要素の集合から選ぶ場合は，補充はない．

任意の整数 a と b に対して，b*Quotient[a,b]+Mod[a,b]は常に a に等しい．

特にModを使いオブジェクトの部分の指標を得る場合はオフセットを指定すると便利なことがある．

最大公約数(greatest common divisor)の関数GCD[n₁,n₂,…]は，すべての n_i を割り切ることができる最大整数を与える．2つの整数を比の形で入力したなら，Wolfram言語は，GCDを使い共通因数をキャンセルし，約分し尽くした形の有理数を返す．

最小公倍数(least common multiple)の関数LCM[n₁,n₂,…]は，各 n_i のすべての因数を含んだ最小整数を与える．

クロネッカー(Kronecker)のデルタ関数KroneckerDelta[n₁,n₂,…]は n_i すべてが等しいなら1でそうでなければ0である．は完全対称テンソルと考えられる．

数学的に見て，素因数分解は根本的に難解な問題である．このため，キーボードから簡単にタイプできるような整数でも，天文学的に長い時間をかけなければ分解できないことがある．与えられる整数が50桁程度までの大きさならば，Wolfram言語はFactorIntegerを使うことで難なく分解することができる．特別な場合は，それより大きい整数でも分解できる．

Wolfram言語は，整数が大きくなるとそれを分解できないかもしれないが，それでも，それが素数かどうかの判定は行うことができる．また， 番目の素数を素早く探せるようにもなっている．

整数論では，素数の実際の値より素数がどう分布しているかを知る方が重要なことが多い．関数PrimePi[x]を使えば， 以下の素数の個数 を知ることができる．

デフォルト設定では，FactorInteger は実整数だけを扱う．しかし，GaussianIntegers->Trueのオプション設定が加えられたなら，整数実数部と整数虚数部からなる複素数のガウス整数も扱うことができるようになる．実素数で一意的に分解することが可能なように，ガウス素数で一意的に分解することが可能である．それでもガウス素数を選択するときは潜在的な曖昧さが残る．このため，Wolfram言語では，常に正の実部と負でない虚数部を持つガウス素数が選択される．ただし，最初の素数としてはと を許容することとする．

モジュラベキ関数PowerMod[a,b,n]は，b>0ならMod[a^b,n]と同じ結果を与える．しかし，PowerModは a^b の完全形を生成することを避けられるので，より効果的である．

PowerModを使えば，正のモジュラベキばかりでなく有限体の逆数も求めることができる．例えば，PowerMod[a,b,n]において b が負の値を取る場合，式 の関係を満たす整数 が存在すればそれを与える．（このような整数が存在する場合，それは，必ず n を法(modulo)として一意である．）一方，そのような が存在しない場合，PowerModは未評価のまま残される．

与えられた法 k に対して，指標 j でラベル付けされるように， 個の異なるディリクレ記号がある．可能な記号の順序は，慣習により異なることがある．

オイラー(Euler)の関数 は， より小さく，かつ， に対して素となる整数の個数を返す．また， と が互いに素ならば が成り立つ（フェルマ(Fermat)の小定理）．

メービウス(Möbius)の関数 は， が 個の異なる素数の積であるとき となり，1ではない二乗因数を含む場合にとなるよう定義される．もし，すべての に対して ならば，が成り立つ（メービウスの反転公式）．ただし， を割り切る正の整数 について和を取る．

約数関数 は， のすべての約数を 乗して加えた和を与える．関数 は の約数の個数を与え，，，等と書かれることもある．また，は の除数の総和と等しく，と書かれることもある．

関数DivisorSum[n,form]は n を割り切るすべての i についての form[i]の総和を表す．DivisorSum[n,form,cond]は cond[i]がTrueを与える除数だけを含む．

ヤコビ(Jacobi)の記号JacobiSymbol[n,m]は， が奇数で，かつ，素数のとき，ルジャンドルの記号に帰着する．また，ルジャンドルの記号は， が で割り切れるとき0に等しい．そうでない場合， が素数 を法とした平方剰余のときに等しく，そうでなければに等しい．ここで， に対して素となる整数 は， の関係を満たす整数 が存在するとき， を法とする平方剰余である，という．一般の場合のヤコビの記号は， となる各素因数 に関するルジャンドルの記号の全体の積である．

拡張最大公約数ExtendedGCD[n₁,n₂,…]は， を の最大公約数とし， を となる整数としたときのリストを返す．拡張最大公約数は，線形（不定）方程式の整数解を求める際に重要な役割を果たす．

乗積順序関数MultiplicativeOrder[k,n]は となるような最小の整数 を与える．この は を法とする の次数としても知られている．という表記もしばしば使用される．

一般化された乗積順序関数MultiplicativeOrder[k,n,{r₁,r₂,…}]は任意の に対して が成り立つような最小の整数 を与える．MultiplicativeOrder[k,n,{-1,1}]はと表記され を で法とする部分順序関数として知られている．MultiplicativeOrder[k,n,{a}]は を法とする基底 に関する の離散対数としても知られている．

カーマイケル(Carmichael)関数あるいは最小普遍指数 は と互いに素であるようなすべての整数 に対して であるような最小の整数 を与える．

連分数は数論でよく現れる．有理数の連分数表現は途中で打ち切られる．二次無理数は連分数表現を持ち，それは反復する．

連分数の近似分数は無理数を有理数で近似するときによく使われる．この近似は上と下から交互に起り，項の数で指数関数的に収束する．さらに，単純な連分数の近似分数 は分母が 以下の他のどのような有理近似よりもよいものとなる．

格子縮小関数LatticeReduce[{v₁,v₂,…}]は，現代のアルゴリズムの数種類で使われる．この基本的な考え方は，整数のベクトル を数学的な「格子」として考えることである．格子の中の点を表すベクトルはすべて形式（ は整数）の線形結合として書くことができる．特定の格子では，「基底ベクトル」 に対して多くの選択肢がある．LatticeReduceが行うのは，ある特定の性質を持つ，この格子の基底ベクトル の縮小集合を見付けることである．

最後の例では，LatticeReduceはほぼ平行なベクトルをより垂直なベクトルで置き換えている．この過程で，非常に短い基底ベクトルが見付かる．

行列 では，HermiteDecompositionは がユニモジュラ，， が行縮小形式となるような行列 と を与える．RowReduceとは対照的に，整数環には分数はないので，軸は1より大きいことがある．軸より上の要素は，軸の行の適切な倍数を引くことにより最小化される．

ビットごとの演算はバイナリビットで表現された整数に施される．BitAnd[n₁,n₂,…]はバイナリビット表現で n_i のすべてに1がある場所に，バイナリ表現で1がある整数を与える．BitOr[n₁,n₂,…]はバイナリビット表現で任意の n_i に1がある場所に1がある整数を与える．BitXor[n₁,n₂]は n₁または n₂のどちらかだけに1がある場所にバイナリビット表現で1がある整数を与える．BitXor[n₁,n₂,…]は奇数個の n_i に1がある場所に1がある整数を与える．

ビットごとの演算は様々な組合せ論アルゴリズムで使用される．また低レベルのコンピュータ言語でもビットフィールドの操作によく使用される．しかしそれらの言語では整数は通常は8の倍数であるような限られた桁数しか許されない．Wolfram言語でのビットごとの演算では無限の桁数の整数を扱うことができる．負の整数の場合は，左に1の数列が無限にあるような2の補数で表現される．これによりBitNot[n]は と同等となる．

SquareFreeQ[n]は n が平方の素因数を持つかどうかを確認する．これはを計算し，結果がゼロであるかどうかを見て行われる．ゼロの場合は n は無平方ではなく，ゼロでない場合は無平方である．MoebiusMu[n]の計算を行うと，n の最小の素因数 q が求められる．n が以下の小さな素因数を持つ場合は，MoebiusMu[n]の計算は非常に速い．持たない場合は，q を求めるのにFactorIntegerが使われる．

NextPrime[n]は p>n である最小の p を求める．このアルゴリズムは n より大きい奇数にPrimeQを適用して直接探す．

RandomPrime[{min,max}]とRandomPrime[max]については，ランダムな素数 p は，max が小さな場合は素数参照表からランダムに選択し，max が大きな場合にはその範囲内の整数のランダム検索で求める．指定の範囲に素数が存在しない場合は，入力は評価されずに返され，エラーメッセージが表示される．

PrimePowerQのアルゴリズムは，まず n の最小の素因数 p を計算し，次に1が得られるまで（この場合，n は素数のベキ乗），または不可能になるまで（この場合，n は素数のベキ乗ではない）p による除算を試みる．

中国余剰定理(Chinese Remainder Theorem)によると，連立合同式のある特定のクラスには常に解が存在する．ChineseRemainder[list₁,list₂]を使うと，Mod[r,list₂]が list₁である非負の最小の整数 r が求められる．解は list₂の要素の最小公倍数の唯一のモジュロである．

PrimitiveRoot[n]は， の乗算で，n と互いに素である数の群の生成元を返す．生成元は n が2，4，奇数の素数のベキ乗，または奇数の素数のベキ乗の2倍である場合にのみ存在する．n が素数または素数のベキ乗の場合は，正の最小の原始根が返される．

階乗関数 は， 個のものの並べ方の総数を与える． が整数でないとき，の数値は「特殊関数」で説明するガンマ関数から求められる．

二項係数の関数Binomial[n,m]は，と書ける．この関数は，並び順を考慮しないとき， 個のものの中からの 個のものの取出し方の数を与える．また，各種の木の枚挙問題に現れるカタラン数は，二項係数により，の関係式で与えられる．

かく乱順列Subfactorial[n]は，オブジェクトがひとつも固定されない 個のオブジェクトの置換の数を与える．このような置換は乱列と呼ばれる．かく乱順列は で与えられる．

多項係数Multinomial[n₁,n₂,…]は，と書け， 個の異なるものを大きさ の 個の集合に分ける方法の総数を表す()．

フィボナッチの数Fibonacci[n]は，のときに漸化式 を満たす．この数は離散数学で広く使われる． を増加させると，は黄金比に近付く．リュカ数LucasL[n]は，初期値が と の，フィボナッチ数と同じ循環関係を満足する．

フィボナッチの多項式Fibonacci[n,x]は，式 の展開で得られる項 の係数に当たる．

調和数HarmonicNumber[n]は で与えられる． 次の調和数HarmonicNumber[n,r]は で与えられる．調和数は多くの組合せ論の推定問題で現れ，しばしば離散化された対数に相当する役割を演じる．

ベルヌーイの多項式BernoulliB[n,x]は，母関数の関係式 を満たす．また，ベルヌーイ数BernoulliB[n]は，で与えられる． は，近似積分で使われるオイラー・マクローリン(Euler–Maclaurin)総和の式における項の係数に当たる．ベルヌーイ数はジェノッチ数と の関係にある．

ベルヌーイ数の近似値はさまざまな数値計算アルゴリズムで使われる．ベルヌーイ数の数値は，まずBernoulliB[n]を使い厳密な有理値として求めておき，それにNを適用することで求められる．

オイラーの多項式EulerE[n,x]は，母関数の関係式を満たす．また，オイラー数EulerE[n]は，で与えられる．

ネールルンド多項式NorlundB[n,a]は母関数の関係式 を満足する．ネールルンドは，のときベルヌーイ数を返す． が他の正の整数値である場合，ネールルンド多項式は高次のベルヌーイ数を返す．一般化されたベルヌーイ多項式NorlundB[n,a,x] は，母関数の関係式 を満足する．

スターリング数は組合せ理論の枚挙問題によく現れる．第一種のスターリング数StirlingS1[n,m]に対して，は，ちょうど 回循環する 個の要素の順列の個数を返す．スターリング数は，母関数の関係式 を満たす．注意点として， の定義によっては， の係数が付くためWolfram言語の定義と異なる場合がある．

第二種のスターリング数StirlingS2[n,m]は と記述されることもあるが， 個の要素を空でない 組の部分集合に分ける上で何通りの分け方があるかを返す．第二種のスターリング数は，の関係式を満たす．

ベル数BellB[n]は，要素数 個の集合を空ではない部分集合分割する方法の総数を与える．ベル多項式BellB[n,x]は，生成関数関係 を満足する．

分割関数PartitionsP[n]は，整数 を正整数の和として順不同で組み合すとき，組合せ方が何通りあるかを返す．PartitionsQ[n]は，和を構成する整数成分が相異するとき，整数 の組合せ方が何通りあるかを返す．

IntegerPartitions[n]は，長さがPartitionsP[n]の の分割のリストを与える．

ここで説明してきた関数のほとんどは，各種の組合せの数を数えるのに使われる．これらとは違って，IntegerPartitionsやPermutationsのような関数は，要素の組合せそのもののリストを生成するために使われる．

符号関数Signature[{i₁,i₂,…}]は順列の符号を返す．偶順列ならを返し，奇順列ならを返す．偶順列（もしくは，奇順列）とは順列が偶数回（奇数回）の互換（2つの要素の入れ替え）で得られることを指す．符号関数は，交代テンソルであるレヴィ・チヴィタ(Levi‐Civita)の記号，または，イプシロン記号としてとらえることができる．

クレプシュ・ゴルダンの係数と –j記号は，量子力学における角運動量の解析や，その他の回転群の応用の問題で使われる．クレプシュ・ゴルダンの係数ClebschGordan[{j₁,m₁},{j₂,m₂},{j,m}]は，量子化された角運動量の状態を展開したとき得られる項の係数を状態の積で与える．

3–j記号あるいはウィグナー係数のThreeJSymbol[{j₁,m₁},{j₂,m₂},{j₃,m₃}]は，クレプシュ・ゴルダンの係数より高い対称性を持つ．Wolfram言語における定義では，クレプシュ・ゴルダンの係数は，3–j記号に基づいた の関係式で与えられる．

ラカーの6–j記号SixJSymbol[{j₁,j₂,j₃},{j₄,j₅,j₆}]は，3つの量子論的な角運動量の取る結合状態を与える．ラカーの係数と6–j記号は1位相を介し関連している．

半正矢関数Haversine[z]はで定義される．半正矢関数の逆関数InverseHaversine[z]はで定義される．グーデルマン関数Gudermannian[z]はとして定義され，その逆関数InverseGudermannian[z]はで定義さえる．グーデルマン関数はの関係を満足する．シンク関数Sinc[z]は平方信号のフーリエ変換である．

上記の関数の他にも特殊な三角関数や双曲線関数がある．正矢関数は文献に記載されていることがあり，単にである．余矢関数はと定義される．複素指数関数 はと書かれることもある．

の平方根 を求めるということは，実際には，方程式 の解を求めることである．ところが，一般に，この方程式には解が2つ存在する．例えば，に対して，解は，と の2つがある．を「関数」と見立ててそれを評価するとき，通常，単一な値を結果として得たいので，一方を選択しなければいけない．なら，は正とする，というのが標準的な選択である．Wolfram言語の関数Sqrt[x]も正を選択をするようになっている．

2つの解から単一の解を選ばなければならないということは，Sqrt[x]の操作は，x^2の真の逆関数ではないということになる．つまり，与えられた数の二乗を取り，二乗した値から平方根を求めても必ずしももとの数は得られない．

を評価すると，可能な解として と がある．この場合は，どちらの解を優先すべきかは上の場合ほど明確に定められない．

実際，すべての複素数 に対して連続となるようにの値を選択することは不可能である．複素平面上に「分岐」と呼ばれる半直線を設定し，その半直線を越えて動くときは不連続となる．Wolfram言語では，に対する分岐を負の実軸に沿うものとする標準的な規約が使われている．

を用いて 乗根を求めるとき，原理的には結果に 通りの可能性がある．単一の値を得るには，特定の「主根」を選ぶ必要がある． 乗したベキ数から 乗根を求めてももとの数が得られるという保証はない．

平方根のような，基本的に方程式の解を見出す関数がいくつもある．対数関数や逆三角関数もこの種の関数に当たる．これらを使うほとんどの方程式問題では，方程式には複数の解が存在する．それでも，一意的な「主」値を選択する必要がある．このとき，全複素平面において連続となる主値を選択することはできない．このため，不連続な線，つまり，分岐が存在する必要がある．これらの分岐をどの位置に取るかは本来任意である．Wolfram言語では，数学で最も標準的とされる分岐位置が採用されている．

オイラーの定数EulerGammaは の極限として与えられる．さまざまな積分や漸近式に使われる．オイラーの定数はオイラー・マスケロニ(Euler‐Mascheroni)の定数とも呼ばれ， で記されることもある．

カタラン数Catalanは，の和で与えられ，組合せ関数の漸近評価に使われる．これは ，， 等さまざまに表記される．

ヒンチン（Khinchin，Khintchineともつづられる）の定数Khinchinはで与えられる．通常の実数を連分数で表現した項の幾何平均を与える．

グレシャー(Glaisher)の定数Glaisher （グレシャー・キンキリン（Glaisher‐Kinkelin）の定数とも呼ばれる）は を満足する．ここで はリーマンのゼータ関数である．特にガンマ関数およびゼータ関数を含む，各種総和および積分で使用される．

ルジャンドルの多項式LegendreP[n,x]は，球対称系の問題で使われる．この多項式は微分方程式を満たし，また， のとき，直交関係 を満たす．

ルジャンドルの陪多項式LegendreP[n,m,x]は，ルジャンドルの多項式の導関数を用いて で与えられる．奇数の整数 とき，はのベキを含むため，厳密には多項式にならないことに注意のこと．また，のとき，は に帰着する．

球面調和関数SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]は，ルジャンドルの陪多項式に関連して定義される．または のとき，同関数は直交関係 を満たす．ここで は単位球面について積分することを示す．

ゲーゲンバウア(Gegenbauer)の多項式GegenbauerC[n,m,x]は，次元の球対称の系に対して一般化されたルジャンドルの多項式と見ることができる．また，このために超球関数とも呼ばれる．

GegenbauerC[n,0,x]は常に0になるが，GegenbauerC[n,x]は，極限 で与えられる．後者は とも記述される．

チェビシェフ(Chebyshev)の多項式は関数の近似値を求めるのによく使われる．第一種チェビシェフの多項式ChebyshevT[n,x]は で定義され，になるように標準化されている．この多項式は のとき，直交関係 を満たす．さらに，は の根に相当する の離散点で和を取っても直交関係を満たす．

第二種チェビシェフの多項式ChebyshevU[n,z]は， で定義される．この定義から となる．また， は のとき直交関係 を満たす．

「Chebyshev」という名前はロシア語のキリル文字の英語読みからきている．「Tschebyscheff」等と綴られることもある．

エルミート(Hermite)の多項式HermiteH[n,x]は，量子力学における調和振動子の波動関数に使われる．これは，微分方程式 を満たし，さらに のとき，直交関係 を満たす．エルミートの多項式はこの他に という別の形も使われることがある．（の，全く異なる標準化が用いられることもある．）

エルミートの多項式は，ウェーバー(Weber)関数とも呼ばれる放物柱面関数 と の関係式で関連している．

ラゲール(Laguerre)の一般多項式LaguerreL[n,a,x]は，量子力学における水素原子の波動関数に関係している．同多項式は，微分方程式 を満たし，さらに のとき直交関係 も満たす．ラゲールの多項式LaguerreL[n,x]は，一般式の特殊な場合 に対応している．

ゼルニケのラジアル多項式ZernikeR[n,m,x] は光学における収差の研究に使われ， のとき直交関係 を満足する．

ヤコビの多項式JacobiP[n,a,b,x]は，量子力学等の回転群の問題でよく使われる．同多項式は， のとき直交関係 を満たす．ルジャンドル，ゲーゲンバウア，チェビシェフの多項式はすべてヤコビの多項式の特殊形ともみなせる．ヤコビの多項式が の関係式で定義されるときもある．

数理物理学で一般的に使われ，標準的なハンドブックに載っているような特殊関数はすべてWolframシステムに入っている．さまざまな種類の特殊関数を順に見ていこう．

文献によっては特殊関数の定義が異なることがある．Wolframシステムで特殊関数を使うとき，関数が以下に示す関係式で定義されるものであることを確認の上使う必要がある．

Wolframシステムにおいて特殊関数は，通常任意の複素数の引数に対して評価することができる．しかし，多くの場合，このチュートリアルで示す定義関係式は，引数が特定の値を取るときに限り有効となる．そのような場合，完全な関数はこれらの関係式の適正な拡張，つまり「解析接続」に対応する．例えば，関数の積分表記は，該当する積分が存在するときに限って有効であるが，関数自体は解析接続により別の点においても通常定義することができる．

関数の定義域をどう拡張できるか， の簡単な和を例に考えてみる．和はのときだけに収束する．それでも，任意の に対して，この和を解析接続して得られる関数が に等しい，ということは簡単に解析的に証明できる．この形を使うことで，少なくとも でさえあれば，任意の に対して，和の関数の値を簡単に求めることができる．

オイラーのガンマ関数Gamma[z]は，積分 によって定義される． が正整数のとき，の関係が成り立つ． は階乗を一般化した関数としてとらえられ，変数 は複素数でもよい．

特に整数論の計算では，ガンマ関数に対する対数が現れることがある．引数が正の実数のとき，これは，単に，Log[Gamma[z]]とすることで評価することができる．しかし，引数が複素数のときは，不規則な不連続点が発生してしまう．このため，Wolframシステムには，LogGamma[z]と呼ばれる関数が特別に定義してある．同関数は，負の実軸に沿って分岐を持たせたガンマ関数の対数を与える．

オイラーのベータ関数Beta[a,b]は，関係式 で定義される．

ポッホハンマー(Pochhammer)の記号あるいは昇階乗Pochhammer[a,n]は，関係式で定義される．この関数は超幾何関数の級数展開でよく使われる．注意点として，定義式にあるガンマ関数が無限大になるときでも，ポッホハンマーの記号の値は確定する．

不完全ガンマ関数Gamma[a,z]は，積分 により定義される．Wolframシステムには一般化された不完全ガンマ関数Gamma[a,z₀,z₁]が組み込まれている．後者は積分 で定義される．

この定義から，不完全ガンマ関数 はWolframシステムではGamma[a,0,z]として求まることが分かる．

不完全ベータ関数Beta[z,a,b]は， で与えられる．不完全ベータ関数では，関数の第1引数であるパラメータ が積分の上限を特定していることに注意する．これに対して，不完全ガンマ関数では，関数の第2引数の が積分の下限を特定する．

不完全ベータ関数および不完全ガンマ関数はそのまま計算せずに，まず，正則化された形を求めた方が計算しやすくなることがある．ここで，正規形とは，完全ベータ関数（もしくは，完全ガンマ関数）で不完全形を割った形を意味する．不完全ベータ関数を正則化した関数としてBetaRegularized[z,a,b]が用意されている．この関数は，引数のほとんどの値域で の関係で定義され，特異点も扱うことができる．また，不完全ガンマ関数を正則化した関数GammaRegularized[a,z]は の関係で定義され，特異点も扱うことができる．

不完全ベータ関数と不完全ガンマ関数，および，それらの逆関数は，統計でよく使われる．逆ベータ関数InverseBetaRegularized[s,a,b]は，における の解である．同様に，逆ガンマ関数InverseGammaRegularized[a,s]は，における の解である．

ガンマ関数の導関数が有理級数の和を求めるときによく使われる．ディガンマ関数PolyGamma[z]は で与えられ，ガンマ関数の対数微分である．引数が整数のとき，ディガンマ関数は関係式 を満たす．ここで， はオイラー定数（WolframシステムではEulerGamma）を示し， は調和数を示す．

ポリガンマ関数PolyGamma[n,z]は，微分式 で与えられる．ディガンマ関数は， に対応している．また， がガンマ関数の 階の対数微分であり， 階ではないことに注意する．また，ポリガンマ関数は関係式 を満たす．PolyGamma[ν,z]は，任意の複素数 について分数計算の解析接続によって与えられる．

BarnesG[z]はGamma関数の一般化であり，その機能の同一性BarnesG[z+1]=Gamma[z] BarnesG[z]により定義される．一方，BarnesGの対数の第3導関数は正の z に対して正である．BarnesGは複素平面上の整関数である．

LogBarnesG[z]は，Exp[LogBarnesG[z]]=BarnesG[z]が成り立つような負の実数軸に沿って分枝切断を持つ正則関数である．

Hyperfactorial[n]は複素平面での の一般化である．

ディリクレの L 関数DirichletL[k,j,s]は （のとき）として実装され，は法が で指標が のディリクレ記号である．

リーマンのゼータ関数Zeta[s]は，のとき関係式 で定義される．整数を引数とするゼータ関数は，各種の総和や積分で使われる．整数を引数とするゼータ関数であれば（一部例外はあるが），厳密な値をWolframシステムで取得することができる．

は，任意複素数 について解析的接続を持つ．複素数のゼータ関数は，整数論における素数分布の問題で中心的な役割を果たす．臨界線上の値は特に重要とされる．

を解析していく上で，2つのリーマン・ジーゲル(Riemann–Siegel)関数RiemannSiegelZ[t]およびRiemannSiegelTheta[t]を定義するとよい．それぞれ， が実数のとき およびで定義される． が実数なら，両関数はともに実数値になることに注意する．

スティルチェス(Stieltjes)の定数StieltjesGamma[n]は，オイラーの定数を一般化したもので， を極 の周りで級数展開したときの係数として現れる． の係数が で，オイラーの定数は である．

一般化されたリーマンのゼータ関数Zeta[s,a]は，の項を除いて として実装されている．

フルヴィッツのゼータ関数HurwitzZeta[s,a]は として実装される．

ラマヌジャンの ディリクレL関数RamanujanTauL[s]は L(s)（の場合）で定義され，係数RamanujanTau[n]を持つ．リーマンゼータ関数の場合と同様に，関数RamanujanTauZ[t]とRamanujanTauTheta[t]を定義すると便利である．

多重対数関数PolyLog[n,z]は で与えられる．多重対数関数はジョンキエール(Jonquière)の関数とも呼ばれる．二重対数PolyLog[2,z]は を満足する． はスペンス(Spence)の積分としても知られている．ニールセンの一般化された多重対数関数あるいは超対数PolyLog[n,p,z]は で与えられる．多重対数関数は素粒子論でのファインマン図形の積分および代数的K理論に現れる．

レルヒ(Lerch)の超越関数LerchPhi[z,s,a]は，ゼータ関数および多重対数関数を一般化したもので，の項を除いた関係式で与えられる．負ベキ乗の和の多くがレルヒの超越関数を使って表せる．例えば，カタランのベータ関数 はにより求めることができる．

レルヒの超越関数は，統計力学におけるフェルミ・ディラック(Fermi–Dirac)分布に の関係式で関連している．

また，レルヒの超越関数は，整数論に現れるディリクレの L 級数(Dirichlet L‐series )の評価にも使われる．基本 L 級数は の形を持つ．ここで，「指標」 は整数関数で周期 を持つ．この種の L 級数は， を のベキとおき，レルヒの超越関数の和として書くことができる．

LerchPhi[z,s,a,DoublyInfinite->True]は，二重無限和を与える．

フルヴィッツ・レルヒ(Hurwitz–Lerch)の超越関数HurwitzLerchPhi[z,s,a]はHurwitzZeta[s,a]を一般化したもので， により定義される．

Wolframシステムは，ExpIntegralEおよびExpIntegralEiの2つの形の指数積分を備えている．

指数積分関数ExpIntegralE[n,z]は， で定義される．

第2の指数積分関数ExpIntegralEi[z]は，のとき積分 で定義される．ここで，積分の主値が取られる．

対数積分関数LogIntegral[z]は，のとき， で与えられ，ここで積分の主値が取られる．整数論において は素数の分布解析で中心的な役割を果たす．対数積分関数は， とも表記される．整数論の応用の中には，主値を取らず， と定義されるものもある．これは，Wolframシステムで定義される とは定数の分だけ違う．

正弦と余弦の積分関数SinIntegral[z]とCosIntegral[z]は， と で定義される．双曲線正弦と双曲線余弦の積分関数SinhIntegral[z]とCoshIntegral[z]は， で定義される．

誤差関数Erf[z]は，ガウス分布（正規分布）の密度関数を積分した で与えられる．相補誤差関数Erfc[z]は，で与えられる．虚部誤差関数Erfi[z]は， で与えられる．一般化された誤差関数Erf[z₀,z₁]は，積分 で定義される．誤差関数は統計の計算で中心的な役割を果たしている．

逆誤差関数InverseErf[s]は，の方程式における解 で定義される．逆誤差関数は統計学における信頼区間の解析や，ガウス数を生成するための乱数生成アルゴリズムにおいて使われる．

誤差関数に深く関係を持つものに，フレネル(Fresnel)の積分FresnelC[z]およびFresnelS[z]がある．前者は， により，また後者は， により定義される．フレネルの積分は回折論の問題で使われる．

ベッセル(Bessel)関数BesselJ[n,z]およびBesselY[n,z]は，微分方程式 の線形独立な解である．整数 について は において正則になる一方， は において対数発散する．

ベッセル関数は，円柱対称系における微分方程式を解くために使われる．

第一種ベッセル関数 は単にベッセル関数とも呼ばれる．第二種ベッセル関数 はウェーバー(Weber)関数とも，ノイマン(Neumann)関数とも呼ばれる．後者の場合， と特別に記される．

ハンケル(Hankel)関数，または，第三種ベッセル関数HankelH1[n,z]およびHankelH2[n,z]は，によって関連しているベッセル微分方程式の一組の代替解を与える．

球ベッセル関数SphericalBesselJ[n,z]とSphericalBesselY[n,z]は，球ハンケル関数SphericalHankelH1[n,z]およびSphericalHankelH2[n,z]と同様に，球対称の波現象の研究から生じたものである．これらは によって，通常の関数と関連している．ハンケル関数の種類によって，関係式の と が，それぞれ， と ， と ，または， と に置き換えられる．整数 については，特殊ベッセル関数をFunctionExpandを使って初等関数について展開することができる．

変形ベッセル関数BesselI[n,z]およびBesselK[n,z]は，微分方程式 の解である．整数 について，で は正則になる一方，は で対数発散してしまう．は双曲ベッセル関数としても知 られる．

特に，電子工学において，ケルビン(Kelvin)関数と呼ばれるKelvinBer[n,z]，KelvinBei[n,z]，KelvinKer[n,z]，KelvinKei[n,z]がよく定義される．これらは通常のベッセル関数とおよびによって関連している．

エアリー(Airy)関数AiryAi[z]およびAiryBi[z]は，微分方程式 の2つの線形独立な解およびである． が正で増大するときは0に収束するが，は限りなく増大する．エアリー関数は，整数の1/3の次数を持つ変形ベッセル関数に関連している．エアリー関数とその導関数AiryAiPrime[z]およびAiryBiPrime[z]は，電磁理論や量子力学の境界値問題によく見られる．

シュトルーベ(Struve)関数StruveH[n,z]は整数 に対して の形式の非斉次ベッセル方程式の解に現れる．この方程式の一般解はシュトルーベ関数が加えられたベッセル関数の線形結合からなる．変形シュトルーベ関数StruveL[n,z]は通常のシュトルーベ関数から，の形式で与えられる．シュトルーベ関数は電磁理論でよく用いられる．